课程笔记

3.1二维随机变量

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设 $X$ 、 $Y$ 是定义在同一概率空间上的随机变量，组成二维随机向量 $(X,Y)$ 。

对任意实数 $x,y$ ，把 $\{X\le x\}$ 与 $\{Y\le y\}$ 同时发生的事件记作 $\{X\le x,\,Y\le y\}$ 。称二元函数

F(x,y)=P\{X\le x,\;Y\le y\},\qquad -\infty<x,y<+\infty

为 $(X,Y)$ 的联合分布函数。 $F(x,y)$ 是点 $(x,y)$ 左下无穷矩形区域上的概率，它只是一维分布函数 $F(x)=P\{X\le x\}$ 的推广形式；一维情形见分布函数。

矩形区域的概率由 $F$ 在四个顶点处的取值组合得到。对 $a<b$ 、 $c<d$ ，

\begin{aligned} P\{a<X\le b,\;c<Y\le d\} ={}&F(b,d)-F(a,d)\\ &-F(b,c)+F(a,c). \end{aligned}

这个式子决定了二维情形的端点写法：四个顶点都要取到，不能用一维的差 $F(b)-F(a)$ 直接套用。

从这里开始， $F(x,y)$ 与一维的 $F(x)$ 不再通用：一维的差要换成四个顶点的组合，后面计算矩形概率都用这个写法。

联合分布函数 $F(x,y)$ 满足：

对每个坐标单调不减：固定 $y$ ，若 $x_1<x_2$ ，则 $F(x_1,y)\le F(x_2,y)$ ；固定 $x$ 时对 $y$ 同理。
对每个坐标右连续： $F(x+0,y)=F(x,y)$ ， $F(x,y+0)=F(x,y)$ 。
极限行为：任一坐标趋于 $-\infty$ 时极限为零，即 $F(-\infty,y)=0$ 、 $F(x,-\infty)=0$ ；两个坐标同时趋于 $+\infty$ 时极限为一，即 $F(+\infty,+\infty)=1$ 。
矩形增量非负：对任意 $a<b$ 、 $c<d$ ，都有 $F(b,d)-F(a,d)-F(b,c)+F(a,c)\ge 0$ 。

四条性质里，前三条都能固定一个坐标后逐条对照一维，最后一条才涉及矩形区域；这也是二维与一维唯一的实质差别。

若 $X$ 、 $Y$ 都只取有限个或可列个值，则称 $(X,Y)$ 为二维离散型随机变量。记

p_{ij}=P\{X=x_i,\;Y=y_j\},\qquad i,j=1,2,\dots

称为 $(X,Y)$ 的联合分布律，它必须满足

p_{ij}\ge 0,\qquad \sum_i\sum_j p_{ij}=1.

联合分布律通常列成二维表：固定 $i$ 是一行，固定 $j$ 是一列，表内每个单元格就是 $(X,Y)$ 取相应值对的概率。求某个事件的概率，就是把表内满足该条件的单元格相加。

例如求 $P\{X<Y\}$ ，应选出所有满足 $x_i<y_j$ 的单元格再相加，不能只比较行号与列号的大小：行、列的位置取决于取值的排列顺序，与取值大小无关。

若存在非负可积函数 $f(x,y)$ ，使

F(x,y)=\int_{-\infty}^{x}\int_{-\infty}^{y}f(u,v)\,\mathrm dv\,\mathrm du,

则称 $(X,Y)$ 为二维连续型随机变量， $f$ 称为联合密度。联合密度满足

f(x,y)\ge 0,\qquad \iint_{\mathbb{R}^2} f(x,y)\,\mathrm dx\,\mathrm dy=1.

对平面区域 $D$ ，

P\{(X,Y)\in D\}=\iint_D f(x,y)\,\mathrm dx\,\mathrm dy.

计算区域概率可以按以下步骤进行：

画出联合密度的支持区域

即 $f(x,y)>0$ 的点集。它由分段条件给出，通常是三角形、矩形或带边界的曲边区域。
与事件区域取交集

把满足事件条件 $\{(x,y):\text{事件发生}\}$ 的区域和上一步的支持区域求交。只有交集上密度才不为零，积分也只在交集上做。
确定积分次序

按交集区域的形状选择先对哪个变量积分，把边界用 $x$ 或 $y$ 表示清楚后再写积分限。

教材用三角形区域上的联合密度演示这三步；离散型的二维表只是把同一件事换成逐格相加，判断条件仍是 $x_i$ 与 $y_j$ 的大小。

教材从一维分布函数直接推广到二维：先用联合分布函数 $F(x,y)=P\{X\le x,Y\le y\}$ 统一描述，再分别处理二维离散型与二维连续型，最后用一个三角形区域上的联合密度做区域积分。

阅读时先核对联合分布函数的四条性质，特别是矩形增量非负这一条；再看离散型为什么要把分布律列成二维表、连续型为什么必须先画支持区域；最后用区域积分例题走一遍“支持区域与事件区域取交集”的过程。

本章后面的边缘分布、条件分布与独立性都以联合分布为出发点，所以这一节的定义和记号要先固定下来。一维的分布函数与密度见分布函数与连续型随机变量。

随机向量写作 $(X,Y)$ ；联合分布函数写作 $F(x,y)=P\{X\le x,Y\le y\}$ ，两个坐标都取 $\le$ ，因此矩形概率按 $F(b,d)-F(a,d)-F(b,c)+F(a,c)$ 展开，四个顶点都要写到。
联合分布律 $p_{ij}=P\{X=x_i,Y=y_j\}$ 列成二维表时，固定 $i$ 是一行，固定 $j$ 是一列；求事件概率按单元格相加。
二维连续型的联合密度写作 $f(x,y)$ ，分布函数由二重积分定义；区域概率一律用积分表示，不另设端点规则。
求区域概率的第一步固定是画支持区域，第二步与事件区域取交集，第三步才决定积分次序。

做二维题时先画出支持区域，再在图上标出事件区域，最后写积分限；这一步比直接套公式慢一点，但能避免积分区域取错。复习时把联合分布函数的四条性质与一维的三条性质对照列一遍，重点标出“矩形增量非负”这条一维没有的要求。