课程笔记

2.2离散型随机变量

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若随机变量 $X$ 的全部可能取值是有限个或可列个，即 $x_1,x_2,\ldots$ ，则称 $X$ 为离散型随机变量。它由每个取值的概率完整描述：

P\{X=x_k\}=p_k,\qquad p_k\ge 0,\qquad \sum_k p_k=1.

这组概率称为 $X$ 的分布律（也叫分布列）。两条要求缺一不可：每个 $p_k$ 非负，所有取值的概率之和为 $1$ 。

事件 $\{X\in A\}$ 的概率按取值相加：

P\{X\in A\}=\sum_{x_k\in A}p_k.

分布律与分布函数 $F(x)=P\{X\le x\}$ 互相决定。离散型的 $F$ 是阶梯函数，在每个取值 $x_k$ 处向上跳跃 $p_k$ ：

F(x)=\sum_{x_k\le x}p_k.

分布律的两条要求是对取值与概率的约束，常见分布只是在这些约束下挑出的模型；复习各分布时应对照取值、参数与典型模型。

在 $n$ 次相互独立、每次成功概率为 $p$ 的伯努利试验中，成功次数 $X$ 服从二项分布，记为 $X\sim B(n,p)$ ，其中 $n$ 为非负整数， $0\le p\le1$ 。对 $k=0,1,\ldots,n$ ，

P(X=k)=\binom nk p^k(1-p)^{n-k}.

系数 $\binom nk$ 计算 $k$ 次成功出现的位置组合。 $n=1$ 时得到两点分布。

若随机变量 $X$ 的概率为

P(X=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!},\qquad k=0,1,2,\ldots,\quad \lambda>0,

则称 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的泊松分布。它可用于符合泊松过程假设的固定时间或空间区间内的事件计数；仅仅观察到计数并不足以推出模型成立。

各次试验相互独立且成功概率均为 $p$ （ $0<p\le1$ ）。若 $X$ 表示首次成功所需的试验总次数，则

P(X=k)=(1-p)^{k-1}p,\qquad k=1,2,\ldots.

另一种约定记录首次成功前的失败次数，取值从 $0$ 开始，使用公式前应确认参数化。

总体有 $N$ 件，其中 $M$ 件属于目标类，等可能地不放回抽取 $n$ 件。令 $X$ 为抽中的目标数，则

P(X=k)=\frac{\binom Mk\binom{N-M}{n-k}}{\binom Nn}, \qquad \max(0,n-N+M)\le k\le\min(n,M).

其中 $0\le M\le N$ 、 $0\le n\le N$ ，各参数均为整数；超出取值范围时概率为零。分子分别选择目标与非目标，分母计数所有抽取组合。

这一组分布按“计数 → 等待”排列：二项与泊松都在数成功或事件发生的次数，几何数首次成功所需的试验次数，超几何则是有限总体下二项的替代。

本节先给出分布律，再列出常见离散分布，最后处理泊松近似与几何分布的无记忆性。阅读时先确认分布律的两条要求，再逐行对照每个分布的取值与典型模型。

常见分布里，二项与超几何的区别是本章第一个判断点：前者要求各次独立、成功概率不变，后者对应有限总体不放回抽样。泊松近似只是二项分布的一种近似，不改变二项模型本身的假设。几何分布放在最后，因为无记忆性的推导要用到它的尾概率。

本章的离散部分与连续部分对照阅读更有效：离散型用分布律求和，连续型用密度积分；两者共用的分布函数概念在分布函数中定义。下一节连续型分布会反复用到“先定支持集、再算概率”的顺序。

复习时按“取值 → 分布律 → 典型模型”默写五个分布，再专挑二项与超几何的辨析题。几何分布的题目先写清取值起点，再套无记忆性；泊松近似的题目先算 $\lambda=np$ ，再决定是否近似。