1.4事件的独立性

设 $A$、$B$ 是样本空间 $\Omega$ 上的两个事件，$P$ 为概率。若

则称 $A$ 与 $B$ 相互独立。这里 $AB$ 表示交事件 $A\cap B$，即两个事件同时发生。

乘法形式是最通用的判定式：它不要求 $P(A)$、$P(B)$ 为正，因此概率为零的事件也可以讨论独立性。例如 $P(A)=0$ 时，对任意事件 $B$ 都有 $P(AB)=0=P(A)P(B)$，所以零概率事件与任意事件独立。

当 $P(B)>0$ 时，由条件概率的定义 $P(A\mid B)=\dfrac{P(AB)}{P(B)}$，独立性等价于

也就是说，知道 $B$ 发生并不改变 $A$ 的概率。对称地，当 $P(A)>0$ 时也可以写成 $P(B\mid A)=P(B)$。

设 $A_1,A_2,\dots,A_n$ 是 $n$ 个事件。

• 两两独立：对任意 $i\ne j$，都有 $P(A_iA_j)=P(A_i)P(A_j)$。
• 相互独立：对任意 $k\ge 2$ 和任意 $1\le i_1<i_2<\dots<i_k\le n$，都有 $$P(A_{i_1}A_{i_2}\cdots A_{i_k})=P(A_{i_1})P(A_{i_2})\cdots P(A_{i_k}).$$

相互独立要求所有子组都满足乘法关系，因此相互独立一定推出两两独立，反之不成立。

$A$、$B$、$C$ 相互独立，需要同时满足四个等式：

前三个等式只说明三者两两独立。缺少第四个等式时，即使两两独立，也不能称三者相互独立。

每次试验只关心“成功”与“失败”两种结果，成功概率恒为 $p$（$0<p<1$），且各次试验相互独立，这样的序列称为伯努利试验序列，也称作 $n$ 重伯努利试验。

$n$ 次试验中恰好成功 $k$ 次（$k=0,1,\dots,n$）的概率为

至少成功一次的概率用对立事件“一次都不成功”计算：

若要求至少成功一次的概率不小于 $q$（$0<q<1$），则需要

因为 $0<1-p<1$，所以 $\ln(1-p)<0$；两边取对数后再除以这个负数时，不等号方向改变：

满足该式的最小正整数就是所需的试验次数。

试验独立性的判定见事件的独立性。成功次数的分布可进一步联系二项分布。

设系统由 $n$ 个元件组成，各元件是否正常相互独立，第 $i$ 个元件正常的概率为 $p_i$。把“系统工作”写成元件状态的交事件或它的对立事件，就能直接套用独立性的乘法公式。

• 串联系统：所有元件都正常时系统才工作，因此 $$P(\text{系统工作})=\prod_{i=1}^{n}p_i.$$
• 并联系统：至少一个元件正常时系统就工作。用对立事件“全部失效”计算： $$P(\text{系统工作})=1-\prod_{i=1}^{n}(1-p_i).$$

串联系统把各元件的可靠概率相乘，并联系统则把各元件的失效概率相乘后取补。混合结构先分解成串联、并联子块，再逐块套用这两条公式。