随机变量函数的分布

设 $X$ 是离散型随机变量，取值为 $x_1,x_2,\dots$，分布律为 $p_k=P\{X=x_k\}$。把每个取值代入 $g$，得到 $Y=g(X)$ 的分布律

$$P\{Y=y\}=\sum_{k:\,g(x_k)=y}P\{X=x_k\}.$$

同一个 $y$ 可能由多个 $x_k$ 得到，这些概率必须合并，不能当作不同的取值分列。反向看，$Y$ 的每个取值对应 $X$ 的一个或多个原像，求和只对满足 $g(x_k)=y$ 的下标进行。

设 $X$ 是连续型随机变量，密度为 $f_X$，取值落在区间 $I$ 内。若 $g$ 在 $I$ 上严格单调、可微，且存在可微的反函数 $x=h(y)$，则 $Y=g(X)$ 也是连续型随机变量，在变换后的取值范围内

$$f_Y(y)=f_X\bigl(h(y)\bigr)\,\bigl|h'(y)\bigr|.$$

绝对值不能省略。$g$ 严格递增时 $h'(y)>0$，严格递减时 $h'(y)<0$，而密度必须非负；取绝对值后两种情形使用同一个式子。

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设 $g$ 在 $I$ 上严格递增，则反函数 $h$ 也递增，且

$$F_Y(y)=P\{g(X)\le y\}=P\{X\le h(y)\}=F_X\bigl(h(y)\bigr).$$

两边对 $y$ 求导，由链式法则得

$$f_Y(y)=F_X'\bigl(h(y)\bigr)\,h'(y)=f_X\bigl(h(y)\bigr)\,h'(y).$$

若 $g$ 严格递减，则 $\{g(X)\le y\}=\{X\ge h(y)\}$，于是

$$F_Y(y)=1-F_X\bigl(h(y)\bigr), \qquad f_Y(y)=-f_X\bigl(h(y)\bigr)\,h'(y)=f_X\bigl(h(y)\bigr)\,\bigl|h'(y)\bigr|.$$

递增情形中 $h'(y)>0$，同样可写成带绝对值的式子。求导在 $F_X$ 可导的点进行；改变密度在有限个点的取值不影响分布。

线性变换：对 $Y=aX+b$，$a\ne 0$，反函数 $h(y)=\dfrac{y-b}{a}$，$h'(y)=\dfrac1a$，于是

$$f_Y(y)=\frac{1}{|a|}\,f_X\!\left(\frac{y-b}{a}\right).$$

若 $X\sim N(\mu,\sigma^2)$，则 $aX+b\sim N(a\mu+b,a^2\sigma^2)$。$a=0$ 时 $Y\equiv b$ 是常数，$F_Y$ 在 $b$ 处由 $0$ 跳到 $1$，$Y$ 没有密度。

若 $g$ 在整个取值范围内不单调，但可以分成若干段，使每段上 $g$ 严格单调且可微，反函数分别为 $x_i(y)$，则同一 $y$ 处各分支的贡献相加：

$$f_Y(y)=\sum_i f_X\bigl(x_i(y)\bigr)\left|\frac{\mathrm dx_i}{\mathrm dy}\right|.$$

这里的分支只计入落在 $X$ 支持集内的那些，支持集指 $f_X>0$ 的取值集合；某个分支在 $y$ 处没有实数值时，它对 $f_Y(y)$ 没有贡献。

对 $g(x)=x^2$，当 $y>0$ 时两支为 $x_1(y)=\sqrt y$、$x_2(y)=-\sqrt y$，且

$$\left|\frac{\mathrm dx_1}{\mathrm dy}\right|=\left|\frac{\mathrm dx_2}{\mathrm dy}\right|=\frac{1}{2\sqrt y},$$

所以

$$f_Y(y)=\frac{f_X(\sqrt y)+f_X(-\sqrt y)}{2\sqrt y},\qquad y>0,$$

而 $y\le 0$ 时 $f_Y(y)=0$。这个结果也可以先写 $F_Y(y)=P\{-\sqrt y\le X\le\sqrt y\}$，再对 $y$ 求导得到。

题集

练习

1. 设 $X$ 的分布律为 $P\{X=-1\}=\dfrac14$，$P\{X=0\}=\dfrac12$，$P\{X=1\}=\dfrac14$，令 $Y=X^2$。

   1. $P\{Y=0\}=$ 。

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      只有 $X=0$ 满足 $X^2=0$，所以 $P\{Y=0\}=P\{X=0\}=\dfrac12$。

   2. $P\{Y=1\}=$ 。

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      $X=1$ 与 $X=-1$ 都映到 $1$，概率合并：$\dfrac14+\dfrac14=\dfrac12$。

2. 设 $X\sim U(0,1)$，$Y=2X+1$。在 $1<y<3$ 内 $f_Y(y)=$ 。

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   由线性变换公式，$f_Y(y)=\dfrac12 f_X\!\left(\dfrac{y-1}{2}\right)$。当 $1<y<3$ 时 $\dfrac{y-1}{2}\in(0,1)$，$f_X=1$，故 $f_Y(y)=\dfrac12$。

3. 设 $X\sim U[-1,1]$，$Y=X^2$。下列叙述正确的有

   题 square-uniform · choice-square

   A

   $Y$ 的取值落在 $[0,1]$ 内

   B

   当 $0<y<1$ 时 $f_Y(y)=\dfrac{1}{2\sqrt y}$

   C

   $Y$ 服从 $[0,1]$ 上的均匀分布

   D

   当 $0<y<1$ 时 $F_Y(y)=y$

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   $X^2\in[0,1]$；密度为 $\dfrac{1}{2\sqrt y}$ 而非常数，所以 $Y$ 不是均匀分布；分布函数为 $\sqrt y$ 而不是 $y$。

4. 设 $X$ 为连续型随机变量，$Y=X^2$。关于求 $Y$ 的密度，下列说法正确的有

   题 branch-method · choice-branch

   A

   可以用分布函数法：先写 $F_Y(y)=P\{-\sqrt y\le X\le\sqrt y\}$，再对 $y$ 求导

   B

   $x^2$ 在 $x<0$ 与 $x>0$ 上各有一个可微反函数，$y>0$ 时把两支的贡献相加

   C

   分支求和时，落在 $X$ 支持集之外的分支也要计入

   D

   若 $f_X$ 关于原点对称，则 $y>0$ 时 $f_Y(y)=\dfrac{f_X(\sqrt y)}{\sqrt y}$

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   只有落在支持集内的分支才有贡献。$f_X$ 关于原点对称时 $f_X(\sqrt y)=f_X(-\sqrt y)$，代入分支公式得 $\dfrac{2f_X(\sqrt y)}{2\sqrt y}=\dfrac{f_X(\sqrt y)}{\sqrt y}$。

5. 设 $X\sim N(\mu,\sigma^2)$，$\sigma>0$，令 $Y=3X-1$，则 $Y$ 服从

   选择答案

   A

   $N(3\mu-1,9\sigma^2)$

   B

   $N(3\mu-1,3\sigma^2)$

   C

   $N(3\mu,9\sigma^2)$

   D

   $N(3\mu-1,\sigma^2)$

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   线性变换把均值变为 $a\mu+b=3\mu-1$，方差变为 $a^2\sigma^2=9\sigma^2$。标准化时除的是标准差，不是方差。