条件分布

设 $(X,Y)$ 是二维随机变量。已知 $Y$ 的取值后 $X$ 的分布，称为在 $Y=y$ 条件下 $X$ 的条件分布。它把参照范围从 $(X,Y)$ 的全部可能取值缩小到 $Y=y$ 这条截面上，思想上与事件的条件概率 $P(A\mid B)$ 相同，只是条件换成了另一个随机变量的取值。

设联合分布律为

记行和 $p_{i\cdot}=\sum_j p_{ij}$、列和 $p_{\cdot j}=\sum_i p_{ij}$。若 $p_{\cdot j}>0$，则对每个 $i$，

固定 $y_j$ 相当于选定联合表的一列，再用这一列的总概率 $p_{\cdot j}$ 归一化。反方向，若 $p_{i\cdot}>0$，则

设联合密度为 $f(x,y)$，边缘密度为 $f_X$、$f_Y$，它们的求法见边缘分布。对满足 $f_Y(y)>0$ 的 $y$，定义条件密度与条件分布函数

反方向，对满足 $f_X(x)>0$ 的 $x$，

连续型不能把条件密度解释成除以点概率：$P\{Y=y\}=0$，$P\{X\le x,\;Y=y\}/P\{Y=y\}$ 没有意义。条件密度是通过密度之比构造的，只需在 $f_Y(y)>0$ 处几乎处处确定，个别点的取值不影响积分结果。

固定 $y_j$ 后，条件分布律非负且总和为 $1$：

固定 $y$（$f_Y(y)>0$）后，条件密度对 $x$ 的积分同样为 $1$：

因此条件密度仍是密度，条件分布律仍是分布律，可以直接用来算条件概率：

固定 $y$ 后，条件密度只在联合密度非零的截面上取正值，其余位置为零。这个截面就是条件分布的支持集。

若联合密度的支持集是矩形（例如 $a<x<b$，$c<y<d$），那么给定 $y$ 后 $x$ 的范围不随 $y$ 改变。若支持集由不等式给出（例如 $0<x<y<1$），给定 $y$ 后 $x$ 的范围会随 $y$ 变化，写条件密度时必须同时写出这个范围。

条件密度与边缘密度的乘积就是联合密度：

也就是说，边缘分布加上条件分布可以唯一确定联合分布；只有边缘分布则不行。把上式对 $y$ 积分，得到密度形式的全概率公式

离散型的对应形式是

条件期望（积分绝对收敛时）为

它可以先固定条件算出关于 $y$ 的函数，再对条件变量求平均；在混合模型中，这条路径通常比直接求边缘分布更省事。

选择条件变量的取值，观察另一个零一变量在该条件下的分布。