知识点

边缘分布

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定义

设 $(X,Y)$ 是二维随机变量，联合分布函数为

F(x,y)=P\{X\le x,\;Y\le y\}.

若只关心 $X$ ，不对 $Y$ 作任何限制，则事件 $\{X\le x\}$ 就是 $\{X\le x,\;Y<+\infty\}$ ，于是

F_X(x)=P\{X\le x\}=F(x,+\infty)=\lim_{y\to+\infty}F(x,y).

$F_X$ 称为 $(X,Y)$ 关于 $X$ 的边缘分布函数，由它给出的分布称为 $X$ 的边缘分布。同理，

F_Y(y)=F(+\infty,y)=\lim_{x\to+\infty}F(x,y)

是 $Y$ 的边缘分布函数。

式中的 $+\infty$ 表示取极限，不是把 $+\infty$ 当作普通实数代入。边缘分布相当于不再对另一个变量施加限制：无论 $Y$ 取什么值都计入，只看 $X$ 落在哪个范围。离散型与连续型有各自的求法，见下文。

设 $(X,Y)$ 为离散型随机变量，联合分布律为

p_{ij}=P\{X=x_i,\;Y=y_j\},\qquad i,j=1,2,\dots,

行和与列和分别记作

p_{i\cdot}=\sum_{j}p_{ij},\qquad p_{\cdot j}=\sum_{i}p_{ij}.

事件 $\{X=x_i\}$ 可以按 $Y$ 的取值拆成互不相容的事件 $\{X=x_i,Y=y_j\}$ 的并，概率相加得

P\{X=x_i\}=p_{i\cdot}=\sum_j p_{ij},\qquad P\{Y=y_j\}=p_{\cdot j}=\sum_i p_{ij}.

把联合分布律列成二维表时，行对应 $X$ 、列对应 $Y$ ， $P\{X=x_i\}$ 是整行之和， $P\{Y=y_j\}$ 是整列之和：

$X\backslash Y$	$0$	$1$	$P\{X=x\}$
$0$	$0.2$	$0.3$	$0.5$
$1$	$0.1$	$0.4$	$0.5$
$P\{Y=y\}$	$0.3$	$0.7$	$1$

表中 $P\{X=0\}=0.2+0.3=0.5$ ， $P\{Y=1\}=0.3+0.4=0.7$ ；最右一列与最下一行分别是 $X$ 、 $Y$ 的边缘分布，右下角为 $1$ 。边缘概率是整行或整列的和，不是表中某一格的联合概率。

设 $(X,Y)$ 为连续型随机变量，联合密度为 $f(x,y)$ ，则边缘密度为

f_X(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)\,\mathrm dy,\qquad f_Y(y)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)\,\mathrm dx.

求谁保留谁，另一个变量积分掉。 公式中的上下限只是形式写法，实际范围由联合密度非零的区域（支持集）决定：固定保留变量后，被积掉的变量只能取支持集截出的那一段。支持集不是矩形时，积分限会依赖保留变量。

联合分布能唯一确定边缘分布，反过来不成立：边缘分布一般不能唯一确定联合分布。边缘分布只记录每个变量各自取值的概率，没有保留两者之间的依赖关系。

因此，看到两个边缘分布相同，既不能断定联合分布相同，也不能断定两个变量独立。要还原联合分布，还需要条件分布，见条件分布；具体反例见下面的例子。

三角形区域上的两个边缘密度

设联合密度为

f(x,y)=\begin{cases}2,&0<x<y<1,\\0,&\text{其他}.\end{cases}

求 $f_X(x)$ 时固定 $x$ 。支持条件 $0<x<y<1$ 要求 $0<x<1$ ，并进一步要求 $x<y<1$ ，所以

f_X(x)=\int_x^1 2\,\mathrm dy=2(1-x),\qquad 0<x<1,

其他位置 $f_X(x)=0$ 。求 $f_Y(y)$ 时固定 $y$ ：支持条件要求 $0<y<1$ ，并进一步要求 $0<x<y$ ，所以

f_Y(y)=\int_0^y 2\,\mathrm dx=2y,\qquad 0<y<1,

其他位置 $f_Y(y)=0$ 。

相同的边缘分布，不同的联合分布

设 $X$ 与 $Y$ 都以 $\frac12$ 的概率取 $1$ 和 $-1$ 。下面三种模型的两个边缘分布完全相同：

三种模型的边缘分布都是 $P\{X=1\}=P\{X=-1\}=\frac12$ 与 $P\{Y=1\}=P\{Y=-1\}=\frac12$ ，联合分布却各不相同。只有第三种模型里两个变量独立。

保持两个边缘分布不变，比较不同的联合分布。

保持两个边缘分布固定，改变联合表中的概率。

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