知识点

几何概型

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定义

若样本空间是有限长度、面积或体积的区域 $\Omega$ ，且样本点在 $\Omega$ 中均匀选取，则事件 $A$ 的概率为

P(A)=\frac{\text{区域 }A\text{ 的度量}}{\text{区域 }\Omega\text{ 的度量}}.

这里的度量按问题取长度、面积或体积。

这里要求 $\Omega$ 的度量有限且非零，事件区域也必须可以测量。随机选取不自动意味着均匀，建模时要说明均匀的是位置、角度还是其他参数。

区间上的几何概型

在 $[0,2]$ 上均匀取一点 $x$ ，事件 $A=\{x\le 0.5\}$ 对应区间 $[0,0.5]$ 。按长度之比，

P(A)=\frac{0.5-0}{2-0}=\frac14.

在 $[0,1]$ 上均匀取点，改变阈值 $a$ 。事件 $X\le a$ 对应区间 $[0,a]$ ，其概率等于该区间长度占总长度的比例。

在单位区间上改变阈值，比较事件长度和概率。

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题集

在 $[0,2]$ 上均匀取一点 $x$ ，事件 $\{x\le 0.5\}$ 的概率为。
参考解答
按长度之比，概率为 $(0.5-0)/(2-0)=0.25$ 。