古典概型 · Learning Notes

定义

若样本空间只含有限个样本点，且每个样本点出现的可能性相同，则称该试验为古典概型。此时事件 $A$ 的概率为

P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|},

其中 $|A|$ 与 $|\Omega|$ 分别表示 $A$ 与 $\Omega$ 中样本点的个数。

常用的计数公式为

A_n^m=\frac{n!}{(n-m)!},\qquad C_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!},\qquad 0!=1.

选择计数方式时先看两点：是否区分顺序，是否允许重复。

不放回抽取中的次品数

$10$ 件产品中有 $3$ 件次品，不放回抽取 $4$ 件。样本空间是从 $10$ 件中取 $4$ 件的所有组合，每个样本点等可能。

恰有 $1$ 件次品，需要从 $3$ 件次品中取 $1$ 件，再从 $7$ 件正品中取 $3$ 件，因此

P=\frac{C_3^1C_7^3}{C_{10}^4}=\frac{3\times 35}{210}=\frac12.

两枚均匀骰子的 $36$ 个有序点数对等可能。改变目标和，统计满足条件的点数对并除以 $36$ 。

在等可能的有序点数对中统计指定点数和。

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题集

$5$ 件产品中有 $2$ 件次品，不放回抽取 $2$ 件。恰有 $1$ 件次品的概率为。
参考解答
样本点总数为 $C_5^2=10$ ，恰有 $1$ 件次品的取法为 $C_2^1C_3^1=6$ ，所以概率为 $6/10=0.6$ 。