概率公理

设 $\Omega$ 是样本空间。对每个事件 $A\subseteq\Omega$ 赋予一个实数 $P(A)$，称为事件 $A$ 的概率。它满足以下三条公理：

1. 非负性：$P(A)\ge 0$；
2. 规范性：$P(\Omega)=1$；
3. 可列可加性：若 $A_1,A_2,\ldots$ 两两互斥，即 $A_iA_j=\varnothing\ (i\ne j)$，则

公理只规定这三条，其余性质都由它们推出。

由公理可直接得到：

• $P(\varnothing)=0$；
• $P(\bar A)=1-P(A)$；
• $0\le P(A)\le 1$。

概率还具有单调性：若 $A\subseteq B$，则 $P(A)\le P(B)$，并且

去掉包含条件后，差事件的公式写成

这是因为 $A-B=A\cap\bar B$ 与 $AB$ 互斥，且它们的并是 $A$。

对任意两个事件 $A$ 与 $B$，

对三个事件，容斥公式为

先证 $P(\varnothing)=0$。在可列可加性中取 $A_1=\Omega$，$A_k=\varnothing\ (k\ge 2)$，这些事件两两互斥且并为 $\Omega$，于是

所以 $P(\varnothing)=0$。

有了这一条，可列可加性就给出有限可加性：若 $A_1,\ldots,A_n$ 两两互斥，把 $A_{n+1},A_{n+2},\ldots$ 都取为 $\varnothing$，则

再证加法公式。事件 $B$ 可以拆成两个互斥事件之并：

由有限可加性，

即 $P(B-AB)=P(B)-P(AB)$。另一方面，$A\cup B$ 也可以拆成互斥的 $A$ 与 $B-AB$：

再次使用有限可加性，

设 $P(A)=0.5$、$P(B)=0.4$、$P(AB)=0.2$，则加法公式给出 $P(A\cup B)=0.5+0.4-0.2=0.7$。交集在前两项中各计算了一次，需要减去一次。

通过面积比较 $P(A)$、$P(B)$ 与交集，检查加法公式如何避免重复计算。