二维联合分布函数

设 $X$、$Y$ 是定义在同一概率空间上的随机变量，组成二维随机向量 $(X,Y)$。

对任意实数 $x,y$，把 $\{X\le x\}$ 与 $\{Y\le y\}$ 同时发生的事件记作 $\{X\le x,\,Y\le y\}$。称二元函数

为 $(X,Y)$ 的联合分布函数。$F(x,y)$ 是点 $(x,y)$ 左下无穷矩形区域上的概率，它只是一维分布函数 $F(x)=P\{X\le x\}$ 的推广形式；一维情形见分布函数。

矩形区域的概率由 $F$ 在四个顶点处的取值组合得到。对 $a<b$、$c<d$，

这个式子决定了二维情形的端点写法：四个顶点都要取到，不能用一维的差 $F(b)-F(a)$ 直接套用。

联合分布函数 $F(x,y)$ 满足：

1. 对每个坐标单调不减：固定 $y$，若 $x_1<x_2$，则 $F(x_1,y)\le F(x_2,y)$；固定 $x$ 时对 $y$ 同理。
2. 对每个坐标右连续：$F(x+0,y)=F(x,y)$，$F(x,y+0)=F(x,y)$。
3. 极限行为：任一坐标趋于 $-\infty$ 时极限为零，即 $F(-\infty,y)=0$、$F(x,-\infty)=0$；两个坐标同时趋于 $+\infty$ 时极限为一，即 $F(+\infty,+\infty)=1$。
4. 矩形增量非负：对任意 $a<b$、$c<d$，都有 $F(b,d)-F(a,d)-F(b,c)+F(a,c)\ge 0$。

联合密度在 $0<x<y<1$ 上为 $2$。调整 $a$，图中阴影表示 $F(a,1)=P(X\le a,Y\le1)$ 的积分区域。