事件的独立性

设 $A$、$B$ 是样本空间 $\Omega$ 上的两个事件，$P$ 为概率。若

则称 $A$ 与 $B$ 相互独立。这里 $AB$ 表示交事件 $A\cap B$，即两个事件同时发生。

乘法形式是最通用的判定式：它不要求 $P(A)$、$P(B)$ 为正，因此概率为零的事件也可以讨论独立性。例如 $P(A)=0$ 时，对任意事件 $B$ 都有 $P(AB)=0=P(A)P(B)$，所以零概率事件与任意事件独立。

当 $P(B)>0$ 时，由条件概率的定义 $P(A\mid B)=\dfrac{P(AB)}{P(B)}$，独立性等价于

也就是说，知道 $B$ 发生并不改变 $A$ 的概率。对称地，当 $P(A)>0$ 时也可以写成 $P(B\mid A)=P(B)$。

设 $A_1,A_2,\dots,A_n$ 是 $n$ 个事件。

• 两两独立：对任意 $i\ne j$，都有 $P(A_iA_j)=P(A_i)P(A_j)$。
• 相互独立：对任意 $k\ge 2$ 和任意 $1\le i_1<i_2<\dots<i_k\le n$，都有 $$P(A_{i_1}A_{i_2}\cdots A_{i_k})=P(A_{i_1})P(A_{i_2})\cdots P(A_{i_k}).$$

相互独立要求所有子组都满足乘法关系，因此相互独立一定推出两两独立，反之不成立。

$A$、$B$、$C$ 相互独立，需要同时满足四个等式：

前三个等式只说明三者两两独立。缺少第四个等式时，即使两两独立，也不能称三者相互独立。

若 $A$ 与 $B$ 独立，则 $A$ 与 $\bar B$、$\bar A$ 与 $B$、$\bar A$ 与 $\bar B$ 也都分别独立。

以 $A$ 与 $\bar B$ 为例，由 $A=A\bar B\cup AB$ 及 $A\bar B$ 与 $AB$ 互斥，

其余两组同理。

保持两个事件的概率都是 $1/2$，改变它们的交集概率。独立时交集概率等于 $1/2\times1/2=1/4$；相同的边缘概率可以对应不同的交集，不能单凭边缘概率判断独立。