正态总体的抽样分布

定义

统计量在重复抽样下的概率分布称为抽样分布。对独立正态样本，样本均值、样本方差及其组合有以下精确分布。

性质

单个正态总体

设 $X_1,\ldots,X_n$ 是来自 $N(\mu,\sigma^2)$ 的简单随机样本（样本与统计量的记号见简单随机样本与统计量）， $n\ge2$ ，则

\bar X\sim N\left(\mu,\frac{\sigma^2}{n}\right),\qquad \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\sim\chi^2(n-1),

并且 $\bar X$ 与 $S^2$ 相互独立，于是

\frac{\bar X-\mu}{S/\sqrt n}\sim t(n-1).

证明

令 $Z_i=\dfrac{X_i-\mu}{\sigma}$ ，则 $Z_1,\ldots,Z_n$ 相互独立，都服从 $N(0,1)$ 。取一个 $n$ 阶正交矩阵 $A$ ，使其第一行为 $\left(\frac1{\sqrt n},\ldots,\frac1{\sqrt n}\right)$ ，并令 $Y=AZ$ 。

正交变换保持平方和，也把独立标准正态变量变成独立标准正态变量，所以 $Y_1,\ldots,Y_n$ 仍相互独立且都服从 $N(0,1)$ 。其中

Y_1=\frac1{\sqrt n}\sum_{i=1}^nZ_i=\sqrt n\,\bar Z,

而平方和满足

\sum_{i=1}^nY_i^2=\sum_{i=1}^nZ_i^2 =\sum_{i=1}^n\frac{(X_i-\mu)^2}{\sigma^2}.

于是

\sum_{i=2}^nY_i^2=\sum_{i=1}^nZ_i^2-n\bar Z^2 =\sum_{i=1}^n(Z_i-\bar Z)^2 =\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}.

右端是 $n-1$ 个独立标准正态变量的平方和，故服从 $\chi^2(n-1)$ 。又因 $Y_1$ 与 $Y_2,\ldots,Y_n$ 独立， $\bar X$ （只由 $Y_1$ 决定）与 $S^2$ （只由 $Y_2,\ldots,Y_n$ 决定）也相互独立。

最后把 $t$ 分布的定义套用上去。记

Z=\frac{\bar X-\mu}{\sigma/\sqrt n},\qquad U=\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2},

则 $Z\sim N(0,1)$ ， $U\sim\chi^2(n-1)$ ，且两者独立，而

\frac{\bar X-\mu}{S/\sqrt n}=\frac{Z}{\sqrt{U/(n-1)}}.

按 $t$ 分布的定义，这个比值服从 $t(n-1)$ 。

自由度为 $n-1$ ，是因为 $n$ 个离差 $X_i-\bar X$ 受约束 $\sum_i(X_i-\bar X)=0$ 的限制，只有 $n-1$ 个可以自由变动。若把中心改为已知的 $\mu$ ，就没有这个约束，结论变为

\frac{\sum_{i=1}^n(X_i-\mu)^2}{\sigma^2}\sim\chi^2(n).

两个独立正态样本

设 $X_1,\ldots,X_{n_1}$ 来自 $N(\mu_1,\sigma_1^2)$ ， $Y_1,\ldots,Y_{n_2}$ 来自 $N(\mu_2,\sigma_2^2)$ ，两个样本相互独立。由单个正态总体的结论，两组样本方差各自给出一个卡方变量，二者独立，相除并按自由度归一后得

\frac{S_1^2/\sigma_1^2}{S_2^2/\sigma_2^2}\sim F(n_1-1,n_2-1).

若进一步假定两个总体的方差相等，记公共方差为 $\sigma^2$ ，则可把两组信息合成合并方差

S_p^2=\frac{(n_1-1)S_1^2+(n_2-1)S_2^2}{n_1+n_2-2},

它是一个以 $\sigma^2$ 为期望的加权平均，权重是各自的自由度。此时

\frac{\bar X-\bar Y-(\mu_1-\mu_2)}{S_p\sqrt{\dfrac1{n_1}+\dfrac1{n_2}}}\sim t(n_1+n_2-2).

自由度是两个样本自由度之和 $(n_1-1)+(n_2-1)=n_1+n_2-2$ 。

例子

查表前先确认自由度

容量 $n=10$ 的正态样本， $\sigma$ 未知时用

\frac{\bar X-\mu}{S/\sqrt{10}}\sim t(9),

自由度是 $n-1=9$ 而不是 $10$ ；若误用 $10$ ，查出的分位点会偏小，区间偏窄。 $n$ 越大两个自由度的差别越小，但结论本身要求用 $n-1$ 。

两个样本的情形： $n_1=6$ 、 $n_2=11$ ，方差相等时合并 $t$ 的自由度为 $5+10=15$ 。若只做方差比的检验，则统计量服从 $F(5,10)$ ，两个自由度按“分子在前、分母在后”的顺序写。

探索

样本量如何影响样本均值的分布？

查看正态总体下样本均值的理论方差。

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题集

练习

取容量 $n=9$ 的正态样本，则 $\dfrac{(n-1)S^2}{\sigma^2}$ 服从的卡方分布的自由度为。
参考解答
自由度为 $n-1=8$ 。中心用的是样本均值 $\bar X$ ，占用了一个约束 $\sum_i(X_i-\bar X)=0$ ，所以比 $n$ 少 $1$ 。
两个独立正态样本的容量分别为 $n_1=11$ 与 $n_2=16$ ，总体方差相等，则合并 $t$ 统计量的自由度为。
参考解答
自由度为 $n_1+n_2-2=11+16-2=25$ ，也就是 $(11-1)+(16-1)$ 。
下列叙述正确的是
题 true-statements · choice-properties
A
卡方分布只在非负半轴取值
B
$F$ 分布的密度关于零对称
C
$t$ 分布的密度关于零对称
D
$\dfrac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\sim\chi^2(n-1)$ 要求总体服从正态分布
参考解答
卡方与 $F$ 都只在非负半轴取值且不对称，只有 $t$ 分布关于零对称。卡方结论依赖正态总体；方差的无偏性 $E(S^2)=\sigma^2$ 才不需要正态性。