正态分布 · Learning Notes

定义

设 $\sigma>0$ ， $X\sim N(\mu,\sigma^2)$ 。密度为

f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp\left[-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right], \qquad -\infty<x<+\infty.

曲线关于 $x=\mu$ 对称，并在 $x=\mu$ 处达到最大值；数字特征为

E(X)=\mu,\qquad D(X)=\sigma^2.

标准正态分布 $N(0,1)$ 的密度与分布函数记作

\varphi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}, \qquad \Phi(x)=\int_{-\infty}^{x}\varphi(t)\,\mathrm dt.

标准化：若 $X\sim N(\mu,\sigma^2)$ ，则

Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\sim N(0,1), \qquad F(x)=\Phi\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right).

因此

P\{a<X\le b\} =\Phi\left(\frac{b-\mu}{\sigma}\right)-\Phi\left(\frac{a-\mu}{\sigma}\right).

由对称性 $\Phi(-z)=1-\Phi(z)$ ，特别地

P\{|X-\mu|<c\}=2\Phi\left(\frac{c}{\sigma}\right)-1\qquad(c>0).

若 $X_i\sim N(\mu_i,\sigma_i^2)$ 相互独立，则 $\sum_i a_iX_i+b$ 的均值为 $\sum_i a_i\mu_i+b$ ，方差为 $\sum_i a_i^2\sigma_i^2$ 。方差大于零时，它服从以这两个量为参数的正态分布；方差为零时，它是常数。

正态分布的标准化

设 $X\sim N(1,4)$ ，即 $\mu=1$ ， $\sigma=\sqrt4=2$ 。则

P\{0<X<3\} =\Phi\left(\frac{3-1}{2}\right)-\Phi\left(\frac{0-1}{2}\right) =\Phi(1)-\Phi(-0.5) =\Phi(1)+\Phi(0.5)-1.

独立正态变量的线性组合

设 $X\sim N(0,1)$ ， $Y\sim N(1,4)$ 且相互独立，令 $Z=X-2Y$ 。正态变量的线性组合仍为正态变量，均值和方差分别为

E(Z)=0-2\times1=-2,\qquad \operatorname{Var}(Z)=1^2\times1+(-2)^2\times4=17,

所以 $Z\sim N(-2,17)$ 。这里系数 $a_1=1$ 、 $a_2=-2$ ，方差按系数的平方加权，负号不影响方差。

改变均值和标准差，比较曲线位置、形状与给定标准差范围内的概率。

移动均值和缩放标准差，观察正态密度和区间概率。

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