指数分布 · Learning Notes

定义

设 $X\sim E(\lambda)$ ，其中 $\lambda>0$ 。密度与分布函数为

f(x)=\begin{cases}\lambda e^{-\lambda x},&x\ge 0,\\0,&x<0,\end{cases} \qquad F(x)=\begin{cases}1-e^{-\lambda x},&x\ge 0,\\0,&x<0.\end{cases}

尾概率与数字特征为

P\{X>x\}=e^{-\lambda x}\quad(x\ge 0),\qquad E(X)=\frac1\lambda,\qquad D(X)=\frac1{\lambda^2}.

这里 $\lambda$ 是率参数， $1/\lambda$ 才是平均等待时间；用于寿命模型时， $1/\lambda$ 是平均寿命。

无记忆性：对 $s,t\ge 0$ ，

P\{X>s+t\mid X>s\}=P\{X>t\}.

已经等待了 $s$ ，剩余等待时间的分布与从零开始相同。恒定失效率的寿命、等待时间常用指数分布建模。

证明

由 $P\{X>s\}=e^{-\lambda s}>0$ 以及 $\{X>s+t\}\subseteq\{X>s\}$ ，得

P\{X>s+t\mid X>s\} =\frac{P\{X>s+t\}}{P\{X>s\}} =\frac{e^{-\lambda(s+t)}}{e^{-\lambda s}} =e^{-\lambda t} =P\{X>t\}.

改变速率 $\lambda$ 与时间 $t$ ，比较尾概率 $P(X>t)$ 。

改变指数分布的速率和等待时间，查看尾概率。

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