知识点

均匀分布

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定义

设 $a<b$ ， $X\sim U[a,b]$ 。它的密度在 $[a,b]$ 上为常数，分布函数在区间内线性增长：

f(x)=\begin{cases}\dfrac{1}{b-a},&a<x<b,\\0,&\text{其他},\end{cases} \qquad F(x)=\begin{cases}0,&x<a,\\\dfrac{x-a}{b-a},&a\le x<b,\\1,&x\ge b.\end{cases}

落在子区间内的概率与子区间长度成正比。数字特征为

E(X)=\frac{a+b}{2},\qquad D(X)=\frac{(b-a)^2}{12}.

均匀分布上的区间概率与数字特征

设 $X\sim U[2,6]$ 。区间概率与区间长度成正比：

P\{3<X<5\}=\frac{5-3}{6-2}=\frac12.

数字特征为

E(X)=\frac{2+6}{2}=4,\qquad D(X)=\frac{(6-2)^2}{12}=\frac43.

改变均匀分布的区间和阈值，比较区间长度比例与概率。

调整区间位置、长度和阈值，计算左侧区间的概率。

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