连续型随机变量 · Learning Notes

定义

若存在非负可积函数 $f$ ，使随机变量 $X$ 的分布函数可以写成

F(x)=P\{X\le x\}=\int_{-\infty}^{x}f(t)\,\mathrm dt,\qquad -\infty<x<+\infty,

则称 $X$ 为连续型随机变量， $f$ 称为 $X$ 的概率密度函数，简称密度。

密度满足

f(x)\ge 0,\qquad \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\,\mathrm dx=1.

对任意 $a<b$ ，区间概率由密度积分给出：

P\{a<X<b\}=\int_a^b f(x)\,\mathrm dx.

在 $f$ 的连续点处有 $F'(x)=f(x)$ 。改变 $f$ 在有限个点处的取值不改变积分，也不改变分布。

求密度中的未知系数时，必须同时检查非负性与总积分为 $1$ ，不能只用其中一个条件。

写出非负条件

对密度支持集内的每个 $x$ ，要求 $f(x)\ge 0$ ，据此排除一部分系数取值。
用归一化条件定系数

令 $\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\,\mathrm dx=1$ ，解出未知系数，再代回检查非负条件。
求分布函数或区间概率

由 $F(x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)\,\mathrm dt$ 写出分布函数，或直接对所需区间积分。

由归一化条件求系数

设 $X$ 的密度为

f(x)=\begin{cases}cx^2,&0<x<1,\\0,&\text{其他}.\end{cases}

由

\int_0^1 cx^2\,\mathrm dx=\frac{c}{3}=1

得 $c=3$ ，且 $3x^2\ge 0$ ，非负条件也满足。于是 $F(x)=x^3$ （ $0\le x\le 1$ ），并且

P\left\{X<\frac12\right\}=\left(\frac12\right)^3=\frac18.

通过密度曲线下的面积计算区间概率，并比较边界处的密度高度。

比较密度曲线上的高度和区间下的面积。

正在准备演示…

题集

设连续型随机变量 $X$ 的密度为 $f(x)=cx^2$ （ $0<x<1$ ），在其他位置 $f(x)=0$ ，则 $c=$ 。
参考解答
由归一化条件 $\int_0^1 cx^2\,\mathrm dx=c/3=1$ 得 $c=3$ ，且此时 $f(x)\ge 0$ 。
关于连续型随机变量的密度 $f$ ，下列说法正确的有
题 density-properties · choice
A
$f(x)\ge 0$
B
$\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\,\mathrm dx=1$
C
对一切 $x$ 都有 $f(x)\le 1$
D
$P\{X=a\}=f(a)$
参考解答
密度非负且全域积分为 $1$ ，但不要求 $f(x)\le 1$ ；密度值也不是单点概率，连续型随机变量的单点概率为 $0$ 。