二维随机变量函数的分布

设 $(X,Y)$ 是二维联合分布函数，$g$ 是二元函数，$Z=g(X,Y)$。$Z$ 的分布函数为

先求 $F_Z$、再在可导处求导得到密度 $f_Z$，这一方法称为分布函数法。按 $(X,Y)$ 的类型，具体计算分两种：

• 离散型：设 $p_{ij}=P\{X=x_i,\ Y=y_j\}$，则对满足条件的格子求和： $$F_Z(z)=\sum_{g(x_i,y_j)\le z}p_{ij}.$$
• 连续型：设联合密度为 $f(x,y)$（即对任意平面区域 $D$，$P\{(X,Y)\in D\}=\iint_D f(x,y)\,\mathrm dx\,\mathrm dy$），则 $$F_Z(z)=\iint_{D_z}f(x,y)\,\mathrm dx\,\mathrm dy,\qquad D_z=\{(x,y):g(x,y)\le z\},$$ 积分区域取 $D_z$ 与联合密度支持集的交集。

连续型求出 $F_Z$ 后，在 $F_Z$ 可导的区间内求导即可，分段点单独讨论。先确定 $g(X,Y)$ 的取值范围，再写区域，能减少漏掉分段。

对一般的连续型 $(X,Y)$，不要求独立，由分布函数法

对 $z$ 求导得

若 $X$ 与 $Y$ 相互独立，则 $f(x,z-x)=f_X(x)f_Y(z-x)$，上式成为卷积公式

离散型独立、取整数值时，相应地

设 $X$ 与 $Y$ 独立，$M=\max(X,Y)$，$m=\min(X,Y)$。“最大值不超过 $z$”等价于两个变量都不超过 $z$，所以

“最小值大于 $z$”等价于两个变量都大于 $z$，所以

对 $n$ 个独立同分布的连续型变量 $X_1,\dots,X_n$，记 $M=\max(X_1,\dots,X_n)$、$m=\min(X_1,\dots,X_n)$，公共分布函数为 $F$、密度为 $f$，则

求导得

在存在联合密度的情形，设 $f$ 为 $(X,Y)$ 的联合密度。

积：令 $U=X$、$V=XY$，反变换为 $x=u$、$y=v/u$，雅可比绝对值为 $1/|u|$，于是

在 $x\ne 0$ 处使用。商：令 $U=Y$、$V=X/Y$，反变换为 $x=uv$、$y=u$，雅可比绝对值为 $|u|$，于是

有联合密度时 $P\{X=0\}=P\{Y=0\}=0$，排除这两个单点不影响积分；但两式的积分范围仍受支持集约束，不能直接取全体实数。

设 $(U,V)=T(X,Y)$ 是可逆的连续可微变换，反变换为 $x=x(u,v)$、$y=y(u,v)$。则 $(U,V)$ 的联合密度为

使用这个公式要做三件事：

1. 写出反变换，求出反变换的雅可比行列式并取绝对值；
2. 把联合密度的支持区域按反变换改写到 $(u,v)$ 平面上；
3. 反变换不唯一时，把各分支的密度分别算出后相加。

只求一个函数 $Z=g(X,Y)$ 的分布时，先补一个辅助变量（例如取 $U=X$ 或 $U=Y$）使变换可逆，求出 $(U,Z)$ 或 $(Z,V)$ 的联合密度，再对辅助变量积分消去它。上面的积、商公式都是这种做法。

改变两个独立零一变量的分布，比较它们的和取不同值的概率。