条件概率与乘法公式

设 $A$ 与 $B$ 是样本空间 $\Omega$ 中的事件，且 $P(B)>0$。在已知 $B$ 发生的条件下，$A$ 发生的条件概率定义为

其中 $AB$ 表示交事件 $A\cap B$。

条件概率把参照范围从 $\Omega$ 缩小到 $B$：与 $B$ 不相交的部分不再参与计算，$B$ 内的样本点按 $P(B)$ 重新归一化。因此条件概率仍是概率，只是样本空间换成了 $B$，它满足的公理与运算规律见概率公理。

定义要求 $P(B)>0$。$P(B)=0$ 时分式没有意义，不能直接对零概率事件取条件。

$P(AB)$ 与 $P(A\mid B)$ 不是同一个量：前者是 $A$ 与 $B$ 同时发生的概率，后者是已知 $B$ 发生后 $A$ 发生的概率。两者的联系由乘法公式给出。同样，$P(A\mid B)$ 与 $P(B\mid A)$ 一般也不相等：它们分别以 $B$ 和 $A$ 为参照范围。

固定事件 $B$（$P(B)>0$）后，$P(\cdot\mid B)$ 仍满足概率的三条公理：

• 非负性：$P(A\mid B)\ge 0$；
• 规范性：$P(\Omega\mid B)=1$，$P(\varnothing\mid B)=0$；
• 可列可加性：若 $A_1,A_2,\ldots$ 两两互斥，则

由此得到常用关系

若 $AB=\varnothing$，则 $P(A\mid B)=0$；若 $B\subseteq A$，则 $P(A\mid B)=1$。

把条件概率的定义式移项，得到乘法公式

第一个等号要求 $P(B)>0$，第二个要求 $P(A)>0$。乘法公式对任意满足条件的事件都成立，不要求 $A$ 与 $B$ 独立：它只是把交事件拆成“先发生一个事件，再在已知它发生的条件下发生另一个”。

设各条件事件的概率都为正，则

其中 $A_1\cdots A_k$ 表示前 $k$ 个事件同时发生。第一个因子要求 $P(A_1)>0$，第二个因子要求 $P(A_1A_2)>0$，依次类推。

用均匀骰子构造两个事件。固定条件后，条件概率的分母只计入满足条件的点数。