二项分布 · Learning Notes

定义

在 $n$ 次相互独立、每次成功概率为 $p$ 的伯努利试验中，成功次数 $X$ 服从二项分布，记为 $X\sim B(n,p)$ ，其中 $n$ 为非负整数， $0\le p\le1$ 。对 $k=0,1,\ldots,n$ ，

P(X=k)=\binom nk p^k(1-p)^{n-k}.

系数 $\binom nk$ 计算 $k$ 次成功出现的位置组合。 $n=1$ 时得到两点分布。

$E(X)=np$ ， $D(X)=np(1-p)$ 。当 $n$ 较大、 $p$ 较小且 $np$ 保持有限时，可用参数为 $np$ 的泊松分布近似；准确程度取决于参数，不能只凭 $n$ 大判断。

若 $X_i\sim B(n_i,p)$ 相互独立且成功概率相同，则 $\sum_iX_i\sim B(\sum_i n_i,p)$ 。成功概率不同时，这个结论一般不成立。

两个独立二项变量之和

设 $X\sim B(3,0.4)$ ， $Y\sim B(5,0.4)$ 且相互独立。两者的成功概率相同，所以

X+Y\sim B(8,0.4),

于是 $P\{X+Y=0\}=0.6^{8}$ ， $E(X+Y)=8\times0.4=3.2$ 。若把 $Y$ 换成与 $X$ 独立但成功概率不同的 $Y'\sim B(5,0.7)$ ， $X+Y'$ 就不再服从二项分布。

改变试验次数、单次成功概率和成功次数，查看二项分布各个取值的概率。

改变二项分布的参数，比较各个成功次数的概率。

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题集

设 $X\sim B(3,0.5)$ ，则 $P\{X=2\}=$ 。
参考解答
$P\{X=2\}=C_3^2(0.5)^2(0.5)^1=3/8=0.375$ 。
设 $X\sim B(2,0.3)$ ， $Y\sim B(4,0.3)$ ，且 $X$ 与 $Y$ 相互独立。 $X+Y$ 服从什么分布？
选择答案
A
$B(6,0.3)$
B
$B(6,0.09)$
C
$B(4,0.3)$
D
正态分布 $N(6\times0.3,\ 6\times0.3\times0.7)$
参考解答
成功概率相同，二项变量之和仍为二项变量，试验次数相加： $X+Y\sim B(2+4,0.3)=B(6,0.3)$ 。方差是 $6\times0.3\times0.7$ ，不必新算，但分布仍是离散的二项分布，不是正态分布。
设 $X\sim B(2,0.3)$ ， $Y\sim B(4,0.5)$ ，且 $X$ 与 $Y$ 相互独立。关于 $X+Y$ 的分布，正确的说法是
选择答案
A
服从 $B(6,0.4)$ ，其中 $p$ 取两个概率的平均
B
服从 $B(6,p)$ ，只是 $p$ 不便写出
C
一般不服从二项分布
D
一定服从正态分布
参考解答
二项分布的可加性要求成功概率相同。 $p$ 不同时，和一般不再是二项分布，也不能把 $p$ 取平均。