伯努利试验序列 · Learning Notes

定义

每次试验只关心“成功”与“失败”两种结果，成功概率恒为 $p$ （ $0<p<1$ ），且各次试验相互独立，这样的序列称为伯努利试验序列，也称作 $n$ 重伯努利试验。

$n$ 次试验中恰好成功 $k$ 次（ $k=0,1,\dots,n$ ）的概率为

P\{\text{恰好成功 }k\text{ 次}\}=C_n^k p^k(1-p)^{n-k}, \qquad C_n^k=\frac{n!}{k!\,(n-k)!}.

至少成功一次的概率用对立事件“一次都不成功”计算：

P\{\text{至少成功一次}\}=1-P\{\text{一次都不成功}\}=1-(1-p)^n.

若要求至少成功一次的概率不小于 $q$ （ $0<q<1$ ），则需要

1-(1-p)^n\ge q \quad\Longleftrightarrow\quad (1-p)^n\le 1-q.

因为 $0<1-p<1$ ，所以 $\ln(1-p)<0$ ；两边取对数后再除以这个负数时，不等号方向改变：

n\ge\frac{\ln(1-q)}{\ln(1-p)}.

满足该式的最小正整数就是所需的试验次数。

试验独立性的判定见事件的独立性。成功次数的分布可进一步联系二项分布。

改变单次成功概率 $p$ 和试验次数 $n$ ，比较至少成功一次的概率。各次试验相互独立且成功概率相同，所以一次都不成功的概率是 $(1-p)^n$ 。

改变独立试验次数和成功率，计算至少成功一次的概率。

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题集

进行 $5$ 次独立重复试验，每次成功的概率为 $0.2$ 。恰好成功 $2$ 次的概率为。
参考解答
由二项概率公式， $C_5^2(0.2)^2(0.8)^3=10\times0.04\times0.512=0.2048$ 。
进行 $3$ 次独立重复试验，每次成功的概率为 $0.1$ 。至少成功一次的概率为。
参考解答
取对立事件“三次都失败”： $1-(0.9)^3=1-0.729=0.271$ 。