泊松分布 · Learning Notes

定义

若随机变量 $X$ 的概率为

P(X=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!},\qquad k=0,1,2,\ldots,\quad \lambda>0,

则称 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的泊松分布。它可用于符合泊松过程假设的固定时间或空间区间内的事件计数；仅仅观察到计数并不足以推出模型成立。

$E(X)=D(X)=\lambda$ 。若 $n\to\infty$ 、 $p\to0$ 且 $np\to\lambda$ ，二项分布的每个固定取值的概率趋于对应的泊松概率。

若 $X_i\sim P(\lambda_i)$ 相互独立，则 $\sum_iX_i\sim P(\sum_i\lambda_i)$ 。

二项分布的泊松近似： $X\sim B(1000,0.002)$

这里 $n=1000$ 较大， $p=0.002$ 较小， $\lambda=np=2$ 适中，可以用 $P(2)$ 近似。于是

P\{X=0\}\approx e^{-2}\frac{2^0}{0!}=e^{-2}\approx 0.1353,

P\{X\ge 1\}=1-P\{X=0\}\approx 1-e^{-2}\approx 0.8647.

改变 $\lambda$ 和次数 $k$ ，查看点概率 $P(X=k)$ 。

改变泊松分布参数与事件次数，计算对应的概率。

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题集

用泊松分布近似二项分布 $B(n,p)$ 时，需要检查的条件包括
题 poisson-conditions · choice
A
$n$ 较大
B
$p$ 较小
C
$\lambda=np$ 适中
D
$n$ 与 $p$ 都接近 $1/2$
参考解答
泊松近似要求试验次数多、单次成功概率小，而 $np$ 保持在可用泊松表的范围内； $p$ 接近 $1/2$ 时二项分布接近对称，不适合用泊松分布近似。
设 $X\sim P(2)$ ， $Y\sim P(3)$ ，且 $X$ 与 $Y$ 相互独立。
1. $X+Y$ 服从参数为 $\lambda$ 的泊松分布， $\lambda=$ 。
  参考解答
  独立泊松变量之和仍为泊松变量，参数相加： $\lambda=2+3=5$ 。