几何分布 · Learning Notes

定义

各次试验相互独立且成功概率均为 $p$ （ $0<p\le1$ ）。若 $X$ 表示首次成功所需的试验总次数，则

P(X=k)=(1-p)^{k-1}p,\qquad k=1,2,\ldots.

另一种约定记录首次成功前的失败次数，取值从 $0$ 开始，使用公式前应确认参数化。

对于此处从 $1$ 开始计数的约定， $E(X)=1/p$ ， $D(X)=(1-p)/p^2$ 。

按“首次成功所需的总试验次数”定义几何分布， $P\{X=k\}=q^{k-1}p$ ， $k=1,2,\ldots$ 。它的尾概率为

P\{X>m\}=q^m\qquad(m\ge 0),

由此得到无记忆性：

P\{X>m+n\mid X>m\}=P\{X>n\},\qquad m,n\ge 0,\quad P(X>m)>0.

证明

由 $P\{X>m\}=\sum_{k=m+1}^{\infty}q^{k-1}p=\dfrac{q^m p}{1-q}=q^m$ ，且 $\{X>m+n\}\subseteq\{X>m\}$ ，得

P\{X>m+n\mid X>m\} =\frac{P\{X>m+n\}}{P\{X>m\}} =\frac{q^{m+n}}{q^m} =q^n =P\{X>n\}.

已经失败 $m$ 次，并不改变此后等待首次成功所需次数的分布。

当 $p=1$ 时， $P(X>m)=0$ （ $m\ge1$ ），相应的条件概率没有定义。

改变单次成功概率，比较首次成功发生在不同试验次数的概率。

改变单次成功概率，比较首次成功发生在各次试验的概率。

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