二维连续型分布 · Learning Notes

定义

若存在非负可积函数 $f(x,y)$ ，使

F(x,y)=\int_{-\infty}^{x}\int_{-\infty}^{y}f(u,v)\,\mathrm dv\,\mathrm du,

则称 $(X,Y)$ 为二维连续型随机变量， $f$ 称为联合密度。联合密度满足

f(x,y)\ge 0,\qquad \iint_{\mathbb{R}^2} f(x,y)\,\mathrm dx\,\mathrm dy=1.

对平面区域 $D$ ，

P\{(X,Y)\in D\}=\iint_D f(x,y)\,\mathrm dx\,\mathrm dy.

计算区域概率可以按以下步骤进行：

画出联合密度的支持区域

即 $f(x,y)>0$ 的点集。它由分段条件给出，通常是三角形、矩形或带边界的曲边区域。
与事件区域取交集

把满足事件条件 $\{(x,y):\text{事件发生}\}$ 的区域和上一步的支持区域求交。只有交集上密度才不为零，积分也只在交集上做。
确定积分次序

按交集区域的形状选择先对哪个变量积分，把边界用 $x$ 或 $y$ 表示清楚后再写积分限。

三角形区域上的归一化与区域概率

设

f(x,y)=\begin{cases} c,&0<x<y<1,\\ 0,&\text{其他}. \end{cases}

支持区域是三角形 $0<x<y<1$ 。由归一化条件，

1=c\int_0^1\int_0^y \mathrm dx\,\mathrm dy=c\int_0^1 y\,\mathrm dy=\frac c2,

所以 $c=2$ 。

再求 $P\{X+Y<1\}$ 。事件区域 $x+y<1$ 与支持区域 $0<x<y<1$ 的交集是 $0<x<\dfrac12$ 、 $x<y<1-x$ ：

P\{X+Y<1\} =\int_0^{1/2}\int_x^{1-x}2\,\mathrm dy\,\mathrm dx =2\int_0^{1/2}(1-2x)\,\mathrm dx =2\left[x-x^2\right]_0^{1/2} =\frac12.

在单位正方形上的均匀联合密度下，改变事件区域并计算其面积。

对单位正方形上的均匀联合密度，计算三角形事件区域的概率。

正在准备演示…

题集

设 $(X,Y)$ 的联合密度为
$f(x,y)=\begin{cases} c,&0<x<y<1,\\ 0,&\text{其他}, \end{cases}$
则 $c=$ 。
参考解答
由归一化条件 $1=c\displaystyle\int_0^1\int_0^y \mathrm dx\,\mathrm dy=\frac c2$ ，得 $c=2$ 。
仍设 $f(x,y)=2$ （ $0<x<y<1$ ），其他位置为 $0$ 。则 $P\{X+Y<1\}=$ 。
参考解答
交集区域为 $0<x<\dfrac12$ 、 $x<y<1-x$ ，积分得 $\displaystyle\int_0^{1/2}\int_x^{1-x}2\,\mathrm dy\,\mathrm dx=\frac12$ 。
设 $(X,Y)$ 的联合密度为 $f(x,y)=cxy$ （ $0<x<1$ ， $0<y<1$ ），其他位置为 $0$ ，则 $c=$ 。
参考解答
$\displaystyle\int_0^1\int_0^1 cxy\,\mathrm dy\,\mathrm dx=c\cdot\frac12\cdot\frac12=\frac c4=1$ ，所以 $c=4$ 。