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知识点

假设检验

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定义

假设检验先对总体参数提出两个互相对立的假设，再用样本判断是否有足够证据拒绝其中一个：

  • 原假设 H0H_0：接受检验的基准主张，通常表示“没有差异”“没有效应”，或参数等于某个给定值。
  • 备择假设 H1H_1：希望用数据发现证据支持的方向，与原假设互补。

按备择假设的方向，检验分为三类：

类型常用写法拒绝方向
双侧H0:θ=θ0, H1:θ≠θ0H_0:\theta=\theta_0,\ H_1:\theta\ne\theta_0统计量过大或过小
右侧H0:θ≤θ0, H1:θ>θ0H_0:\theta\le\theta_0,\ H_1:\theta>\theta_0统计量过大
左侧H0:θ≥θ0, H1:θ<θ0H_0:\theta\ge\theta_0,\ H_1:\theta<\theta_0统计量过小

检验统计量只由样本决定，并在 H0H_0 下服从已知分布；使 H0H_0 被拒绝的样本取值范围称为拒绝域。单侧检验的参考分布通常取在边界 θ=θ0\theta=\theta_0 处：H0H_0 允许一整段参数值，但常用检验的拒绝概率在边界处最大，控制住边界就控制住整个原假设。检验方向必须依据研究问题在收集数据之前确定，不能看过样本结果后再选择更容易显著的一侧。

性质

检验步骤

  1. 明确模型与参数

    写清总体分布、样本结构、待检验的参数，以及哪些量已知。

  2. 提出假设并选定水平

    写出 H0H_0 与 H1H_1，根据研究问题确定单侧或双侧，并事先选定显著性水平 α\alpha。

  3. 构造检验统计量

    选择在 H0H_0 下分布已知的统计量，并写出该分布与自由度。

  4. 确定拒绝域或计算 pp 值

    按备择方向把 α\alpha 放到对应的一侧或两侧，得到拒绝域；或者由观测值计算 pp 值。

  5. 下结论并解释

    代入数据，作出“拒绝 H0H_0”或“不拒绝 H0H_0”的判断，再把结论翻译回实际问题。

与置信区间的关系

对采用同一模型、同一枢轴量的双侧检验，显著性水平为 α\alpha 时拒绝 H0:θ=θ0H_0:\theta=\theta_0，等价于相应的 1−α1-\alpha 置信区间不包含 θ0\theta_0。两种表述来自同一个不等式，只是把参数与观测值的位置互换：

∣θ^−θ0SE∣>c⟺θ0∉[θ^−c SE, θ^+c SE].\left|\frac{\hat\theta-\theta_0}{\mathrm{SE}}\right|>c \quad\Longleftrightarrow\quad \theta_0\notin\bigl[\hat\theta-c\,\mathrm{SE},\ \hat\theta+c\,\mathrm{SE}\bigr].

式中 θ^\hat\theta 是 θ\theta 的一个估计（例如均值检验中的 Xˉ\bar X），SE\mathrm{SE} 是它的标准误，cc 是相应分布的上 α/2\alpha/2 分位点。区间估计的构造与各种情形的公式见区间估计。

这个等价关系有前提：检验与区间必须使用相同的模型、相同的统计量（枢轴量）和相同的尾概率分配。若其中一方用了近似方法，或者单侧与双侧、尾概率分配不同，就不能机械地把区间结论搬成检验结论。此外，大量重复做检验会增大“至少有一次误拒绝”的概率，单次检验的 α\alpha 不能当作整体错误率。

例子

双侧z检验与置信区间

某正态总体的标准差已知为 σ=10\sigma=10，取 n=25n=25 的样本得 xˉ=104\bar x=104。检验

H0:μ=100与H1:μ≠100,H_0:\mu=100\qquad\text{与}\qquad H_1:\mu\ne100,

取 α=0.05\alpha=0.05，z0.025=1.96z_{0.025}=1.96。检验统计量为

z=xˉ−μ0σ/n=104−10010/5=2.z=\frac{\bar x-\mu_0}{\sigma/\sqrt n}=\frac{104-100}{10/5}=2.

双侧 pp 值为

p=2[1−Φ(2)]=2(1−0.9772)=0.0456<0.05,p=2[1-\Phi(2)]=2(1-0.9772)=0.0456<0.05,

所以拒绝 H0H_0。同一数据的 95%95\% 置信区间为 104±1.96×2=[100.08, 107.92]104\pm1.96\times2=[100.08,\ 107.92]，不包含 100100，与检验结论一致。

单侧检验与单侧置信限

同一组数据，若研究问题只关心 μ\mu 是否大于 100100，应取

H0:μ≤100与H1:μ>100.H_0:\mu\le100\qquad\text{与}\qquad H_1:\mu>100.

z=2z=2，右侧 pp 值为 p=1−Φ(2)=0.0228<0.05p=1-\Phi(2)=0.0228<0.05，拒绝 H0H_0。相应的 95%95\% 置信下限为

104−1.645×105=100.71,104-1.645\times\frac{10}{5}=100.71,

整个区间 [100.71,+∞)[100.71,+\infty) 都在 100100 的右侧，同样支持拒绝 μ≤100\mu\le100。单侧检验把 α\alpha 全部放在一侧，所以用 z0.05=1.645z_{0.05}=1.645 而不是 z0.025z_{0.025}。

探索

检验结果与置信区间如何对应？

改变样本均值，比较双侧检验与区间。

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题集

练习

  1. 某双侧检验与相应的 95%95\% 置信区间使用同一模型与同一枢轴量。置信区间为 [100.08, 107.92][100.08,\ 107.92]，在 α=0.05\alpha=0.05 下检验 H0:μ=100H_0:\mu=100，结论是

    选择答案
    参考解答

    区间不包含 μ0=100\mu_0=100，与双侧检验在 α=0.05\alpha=0.05 下拒绝 H0H_0 等价。前提是检验与区间使用同一模型、同一枢轴量和同一尾概率分配。

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