配对样本均值检验 · Learning Notes

定义

同一对象的前后测量、按特征匹配的个体对，都属于配对设计。两张表看起来是两组数据，但配对内的两个观测不独立，不能套用上面的独立两样本公式。

配对设计先逐对作差：

D_i=X_i-Y_i,\qquad i=1,\ldots,n,

其中 $n$ 是对数。若 $D_1,\ldots,D_n$ 相互独立且都服从正态分布，则检验均值差 $H_0:\mu_D=\Delta_0$ 就化为单个正态总体的均值检验：

T=\frac{\bar D-\Delta_0}{S_D/\sqrt n}\sim t(n-1),

其中 $\bar D$ 、 $S_D$ 分别是差值样本的均值和标准差。

配对设计用差值做一元 $t$ 检验

对 $n=9$ 对观测逐对作差，算得 $\bar d=2.0$ ， $s_D=2.0$ 。检验 $H_0:\mu_D=0$ 对 $H_1:\mu_D\ne0$ ，取 $\alpha=0.05$ 。

t=\frac{\bar d-0}{s_D/\sqrt n} =\frac{2.0}{2.0/3}=3.0, \qquad \nu=9-1=8.

临界值 $t_{0.025}(8)\approx2.306$ ， $3.0>2.306$ ，拒绝 $H_0$ 。这里自由度是 $8$ ，由对数 $9$ 决定；若误按两组独立样本处理，会写成 $n_1+n_2-2$ ，把自由度放大一倍，临界值也随之变小。

用配对差值的均值和标准差计算统计量。

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题集

由 $n=12$ 对观测组成的配对样本，检验差值均值 $H_0:\mu_D=0$ ，所用 $t$ 统计量的自由度为。
参考解答
配对检验化为一元 $t$ 检验，自由度按对数算，为 $n-1=11$ 。两组原始数据的独立性不成立，不能写成 $12+12-2=22$ 。