单个正态总体均值检验

设 $X_1,\ldots,X_n$ 是来自正态总体 $N(\mu,\sigma^2)$ 的简单随机样本，$\bar X$ 与 $S^2$ 分别为样本均值和分母为 $n-1$ 的样本方差。检验以原假设为基准，方向和显著性水平应事先确定。

检验 $H_0:\mu=\mu_0$ 时，统计量的选择只取决于 $\sigma$ 是否已知。

方差已知。 此时 $\sigma$ 是已知常数，用

方差未知。 此时 $\sigma$ 只能由样本估计，把分母中的 $\sigma$ 换成样本标准差 $S$，用

两个统计量的差别只在分母：一个是已知的 $\sigma/\sqrt n$，另一个是由同一样本算出的 $S/\sqrt n$，也就是标准误。换用 $S$ 之后分布也从标准正态变成自由度为 $n-1$ 的 $t$ 分布，自由度来自 $S^2$ 中 $\bar X$ 占用了一个约束。

以下 $q_\alpha$ 在 $Z$ 检验中表示 $z_\alpha$，在 $t$ 检验中表示 $t_\alpha(n-1)$，均为上 $\alpha$ 分位点；两种检验的拒绝域形状相同：

双侧检验把 $\alpha$ 平均分到两侧尾部，所以用 $\alpha/2$ 的分位点；单侧检验把整个 $\alpha$ 放在备择假设所指的那一侧。备择方向必须由研究问题事先确定，不能看了数据再挑方向。