置信区间

设总体分布含未知参数 $\theta\in\Theta$，$X=(X_1,\ldots,X_n)$ 是来自该分布的简单随机样本（独立同分布），$L(X)$ 与 $U(X)$ 是统计量且 $L(X)\le U(X)$。若对每个 $\theta\in\Theta$ 都有

则称随机区间 $[L(X),U(X)]$ 为 $\theta$ 的置信水平 $1-\alpha$（也称置信度）的置信区间，$1-\alpha$ 称为覆盖概率。若只能保证覆盖概率近似等于 $1-\alpha$，则称为近似置信区间。

这里 $\theta$ 固定，随机的是抽样产生的区间。置信水平的含义是：反复使用同一抽样与构造过程，约有 $100(1-\alpha)\%$ 的区间覆盖真参数。观测到具体区间 $[l,u]$ 之后，不能再说“$\theta$ 以 $1-\alpha$ 的概率落入 $[l,u]$”：此时 $\theta$ 与端点都已确定，区间要么覆盖它，要么不覆盖。

构造区间通常借助枢轴量：样本与参数的函数 $G(X,\theta)$，它的分布完全已知，且不依赖任何未知参数（包括 $\theta$ 本身）。若

就把 $a\le G(X,\theta)\le b$ 当作关于 $\theta$ 的不等式解出，得到 $\theta$ 的置信区间。$a,b$ 常按两侧各留 $\alpha/2$ 的尾概率选取；同一置信水平下的区间不唯一，等尾取法只是常用选择。统计量与枢轴量的区别见简单随机样本与统计量。

对常见的正态均值对称区间，半宽 $d$ 与总长度 $2d$ 反映估计的精度。下面比较假定区间构造方法与其他条件保持不变。

• 置信水平 $1-\alpha$ 提高时，$\alpha$ 变小，分位点变大，区间变宽。想要更高的把握，就要接受更宽的区间。
• 总体标准差已知且固定时，样本量 $n$ 增大会使标准误 $\sigma/\sqrt n$ 变小。使用样本标准差时，$S$ 与 $t$ 分位点也会随样本变化，不能保证每次增加样本都使区间变短。
• 这类区间的总长度是半宽的两倍，报告精度时要写清用的是半宽还是全长。
• 对同一观测结果和同一构造方法，提高置信水平会使这类区间变宽。设计阶段可通过增加样本量等方式，在更高置信水平下控制区间宽度。

不同参数和样本结构对应不同的构造方法，见均值区间、正态总体方差区间、独立样本均值差区间、配对均值差区间、方差比区间和比例的Wald区间。