假设检验中的错误与功效

检验的结论可能与真实情况不符，有两种错误：

• 第一类错误：$H_0$ 为真却拒绝了 $H_0$，也称“弃真”。其概率通常记为 $\alpha$，由显著性水平控制。
• 第二类错误：$H_0$ 为假却没有拒绝 $H_0$，也称“取伪”。其概率记为 $\beta(\theta)$，依赖真实的参数值 $\theta$。
• 功效：$1-\beta(\theta)$，即 $H_0$ 为假时正确拒绝的概率。真实参数离 $\theta_0$ 越远，功效通常越高。

在复合原假设 $H_0:\theta\in\Theta_0$ 下，“水平为 $\alpha$”的准确含义是对所有 $\theta\in\Theta_0$ 都有

即最坏情形下的第一类错误概率不超过 $\alpha$。

固定样本量时，减小第一类错误通常会使第二类错误增大：把拒绝门槛收紧，真正有差异时也更难拒绝。增加样本量可以在保持 $\alpha$ 不变的前提下降低 $\beta$，提高对固定差异的检验功效。