知识点

全概率公式

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公式

设 $B_1,\ldots,B_n$ 是完备事件组，且 $P(B_i)>0$ 。对任意事件 $A$ ，

P(A)=\sum_{i=1}^{n}P(B_i)P(A\mid B_i).

每一项是交事件 $AB_i$ 的概率；这些交事件互斥且合起来是 $A$ ，因此可以相加。公式从不同来源的比例和各来源内的发生率求总概率。若某个来源概率为零，其交事件概率也为零，可以去掉该项；不能在分母为零时直接使用条件概率。

两条生产线的次品率

甲线占产量的 $70\%$ ，次品率为 $2\%$ ；乙线占 $30\%$ ，次品率为 $6\%$ 。两种来源构成完备事件组，任取一件产品是次品的概率为

0.7\times0.02+0.3\times0.06=0.032.

调整两个来源所占比例和各自的发生率，深色面积表示结果事件。总概率是两块深色面积之和。

用面积比较两个来源下的结果概率及其总和。

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题集

某车间有 $A$ 、 $B$ 两条生产线： $A$ 线产量占 $70\%$ ，次品率 $2\%$ ； $B$ 线产量占 $30\%$ ，次品率 $6\%$ 。任取一件产品，它是次品的概率为。
参考解答
两条生产线构成完备事件组，由全概率公式， $P(D)=0.7\times 0.02+0.3\times 0.06=0.014+0.018=0.032$ 。