贝叶斯公式 · Learning Notes

公式

设 $B_1,\ldots,B_n$ 是完备事件组，且 $P(B_i)>0$ ， $A$ 为满足 $P(A)>0$ 的事件，则对每个 $j=1,\ldots,n$ ，

P(B_j\mid A)=\frac{P(B_j)P(A\mid B_j)}{\sum_{i=1}^{n}P(B_i)P(A\mid B_i)}.

分子是交事件的概率 $P(AB_j)$ ，分母是 $P(A)$ 的全概率展开。因此公式就是把

P(B_j\mid A)=\frac{P(AB_j)}{P(A)}

写成只用各来源概率和来源内条件概率表示的形式。

贝叶斯公式用各来源产生结果的相对难易重新分配先验概率，分母 $P(A)$ 起归一化作用。后验概率一般不等于先验概率：若某个来源比别的来源更容易产生结果 $A$ ，它的后验概率就高于先验概率。

甲乙两厂供货中的次品

甲厂供货占 $60\%$ ，次品率 $1\%$ ；乙厂供货占 $40\%$ ，次品率 $3\%$ 。记 $D$ 为抽到次品， $B_1$ 为产品来自甲厂， $B_2$ 为产品来自乙厂，则 $B_1,B_2$ 构成完备事件组。

由全概率公式，

P(D)=0.6\times 0.01+0.4\times 0.03=0.006+0.012=0.018.

已知抽到次品，它来自乙厂的概率由贝叶斯公式得到：

P(B_2\mid D)=\frac{0.4\times 0.03}{0.018}=\frac{0.012}{0.018}=\frac23.

乙厂供货的先验概率为 $0.4$ ，观察到次品后上升为 $\dfrac23$ ：乙厂次品率更高，出现次品这一结果使“产品来自乙厂”的判断变得更可能。

题集

某车间有 $A$ 、 $B$ 两条生产线： $A$ 线产量占 $70\%$ ，次品率 $2\%$ ； $B$ 线产量占 $30\%$ ，次品率 $6\%$ 。已知取到的产品是次品，它来自 $A$ 线的概率为。
参考解答
由贝叶斯公式， $P(A\mid D)=\dfrac{0.7\times 0.02}{0.032}=\dfrac{0.014}{0.032}=0.4375$ 。
在贝叶斯公式中，分母应当是什么？
选择答案
A
目标来源的 $P(B_j)P(A\mid B_j)$
B
$P(A)$ ，即所有来源的 $P(B_i)P(A\mid B_i)$ 之和
C
$P(B_j)$
D
$1-P(A)$
参考解答
分母是 $P(A)$ ，由全概率公式展开为 $\sum_i P(B_i)P(A\mid B_i)$ 。只写目标来源的那一项，通常会把分母算小，比值偏大，不再等于真正的后验概率。

用面积展示先验比例、条件筛选与后验概率。