卡方分布 · Learning Notes

定义

设 $Z_1,Z_2,\ldots,Z_\nu$ 相互独立，且都服从 $N(0,1)$ ，则

U=\sum_{i=1}^{\nu}Z_i^2\sim\chi^2(\nu),

其中 $\nu$ 称为自由度。它的数字特征为

E(U)=\nu,\qquad D(U)=2\nu.

这两个式子来自单个标准正态变量： $E(Z_i^2)=D(Z_i)=1$ ，而

D(Z_i^2)=E(Z_i^4)-\bigl[E(Z_i^2)\bigr]^2=3-1=2,

再由独立性把 $\nu$ 项相加。

卡方分布只在 $[0,+\infty)$ 上取值，通常不对称，右尾较长。相互独立的卡方变量可以相加，自由度也相加：若 $U_1\sim\chi^2(\nu_1)$ 与 $U_2\sim\chi^2(\nu_2)$ 独立，则 $U_1+U_2\sim\chi^2(\nu_1+\nu_2)$ 。这里独立性不能省。

例子

卡方变量的自由度相加

设 $U_1\sim\chi^2(3)$ 与 $U_2\sim\chi^2(4)$ 相互独立，则 $U_1+U_2\sim\chi^2(7)$ ，因此

E(U_1+U_2)=7,\qquad D(U_1+U_2)=14.

若样本容量 $n=6$ ，总体正态，则 $\dfrac{(n-1)S^2}{\sigma^2}=\dfrac{5S^2}{\sigma^2}\sim\chi^2(5)$ ，期望为 $5$ 、方差为 $10$ 。卡方结论只由自由度决定，与 $\mu$ 、 $\sigma^2$ 的具体取值无关，这也是把 $\dfrac{(n-1)S^2}{\sigma^2}$ 当作枢轴量的依据。

探索

卡方变量怎样由标准正态变量构造？

查看平方和的一个示例与理论矩。

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题集

练习

设 $U\sim\chi^2(8)$ 。
1. $E(U)=$ 。
  参考解答
  卡方分布的期望等于自由度， $E(U)=\nu=8$ 。
2. $D(U)=$ 。
  参考解答
  $D(U)=2\nu=2\times8=16$ 。