$t$ 分布

设 $Z\sim N(0,1)$，$U\sim\chi^2(\nu)$，且 $Z$ 与 $U$ 相互独立，则

$t$ 分布的密度关于零对称，所以 $t_{1-\alpha}(\nu)=-t_\alpha(\nu)$；自由度增大时它趋近于标准正态，通常 $\nu>30$ 就可用正态近似。

它的矩要按自由度分别讨论：

• $\nu>1$ 时 $E(T)=0$；
• $\nu>2$ 时 $D(T)=\dfrac{\nu}{\nu-2}$；
• $\nu\le1$ 时期望不存在，$\nu=1$ 的 $t$ 分布就是柯西分布；
• $1<\nu\le2$ 时期望存在但方差不存在。

所以小自由度时不能套用不存在的矩，写 $D(T)=\nu/(\nu-2)$ 之前先确认 $\nu>2$。