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常用分布与统计公式速查

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本页集中列出结论和适用参数。查表前先确认两件事：题目用的是哪一套参数化，公式要求的条件是否成立。

下文记 $q=1-p$ ， $\nu$ 为自由度。出现的分位点 $z_\alpha$ 、 $\chi^2_\alpha(\nu)$ 、 $t_\alpha(\nu)$ 、 $F_\alpha(\nu_1,\nu_2)$ 都按上侧定义，即右侧尾概率恰为 $\alpha$ 的点；定义、对称性与换算规则见上侧分位点。

常见分布的数字特征

下表中几何分布计数从 $1$ 开始，指数分布使用率参数 $\lambda$ 。

分布	参数范围或约定	期望	方差
$B(1,p)$	$0\le p\le1$	$p$	$p(1-p)$
$B(n,p)$	$n$ 为正整数	$np$	$np(1-p)$
$P(\lambda)$	$\lambda>0$	$\lambda$	$\lambda$
几何分布	首次成功总次数， $0<p<1$	$1/p$	$(1-p)/p^2$
超几何分布	总数 $N>1$ ，目标数 $M$ ，抽取数 $n$	$nM/N$	$n\frac MN(1-\frac MN)\frac{N-n}{N-1}$
$U[a,b]$	$a<b$	$(a+b)/2$	$(b-a)^2/12$
$E(\lambda)$	率参数	$1/\lambda$	$1/\lambda^2$
$N(\mu,\sigma^2)$	$\sigma^2>0$	$\mu$	$\sigma^2$
$\chi^2(\nu)$	$\nu>0$	$\nu$	$2\nu$
$t(\nu)$	期望需 $\nu>1$ ，方差需 $\nu>2$	$0$	$\nu/(\nu-2)$
$F(\nu_1,\nu_2)$	期望需 $\nu_2>2$ ，方差需 $\nu_2>4$	$\nu_2/(\nu_2-2)$	$\dfrac{2\nu_2^2(\nu_1+\nu_2-2)}{\nu_1(\nu_2-2)^2(\nu_2-4)}$

分布律与密度分别见离散型随机变量和连续型随机变量。常用模型可参阅二项分布、泊松分布与正态分布；卡方、t、F三种分布见抽样分布。

常见积分与求和

下面三组恒等式分别是二项式定理、 $e^\lambda$ 的展开与等比级数、以及一个伽马型积分：

\sum_{k=0}^{n}C_n^k p^k q^{n-k}=(p+q)^n,

\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\lambda^k}{k!}=e^\lambda,\qquad \sum_{k=0}^{\infty}q^k=\frac{1}{1-q}\quad(|q|<1).

\int_0^{\infty}x^m e^{-\lambda x}\,\mathrm dx=\frac{m!}{\lambda^{m+1}},\qquad m=0,1,\ldots,\ \lambda>0.

这些恒等式常用于验证分布归一化，以及求泊松、几何、指数分布的矩。用等比级数时注意 $|q|<1$ ；二项分布的归一化就是把 $p+q=1$ 代入二项式定理。

标准正态与查表

标准正态的分布函数记作 $\Phi$ ，密度关于零对称，因此

\Phi(-z)=1-\Phi(z),\qquad P\{|Z|>c\}=2[1-\Phi(c)]\quad(c\ge0).

上 $\alpha$ 分位点 $z_\alpha$ 满足 $P\{Z>z_\alpha\}=\alpha$ ，等价于 $\Phi(z_\alpha)=1-\alpha$ 。常用取值如下：

上侧尾概率 $\alpha$	$z_\alpha$ 近似值	常见用途
$0.10$	$1.282$	$90\%$ 单侧界
$0.05$	$1.645$	$90\%$ 双侧区间、 $95\%$ 单侧界
$0.025$	$1.960$	$95\%$ 双侧区间
$0.01$	$2.326$	$99\%$ 单侧界
$0.005$	$2.576$	$99\%$ 双侧区间

查表顺序是先确定单侧或双侧，再确定每侧尾概率，最后按表头读取对应数值。

卡方、t与F表

卡方、t、F表须先确定分位数定义、自由度、单侧或双侧。F分位点满足倒数关系

F_\alpha(\nu_1,\nu_2)=1/F_{1-\alpha}(\nu_2,\nu_1),

换算时两个自由度同时交换位置。卡方与 $F$ 分布不对称，不能用 $z_{1-\alpha}=-z_\alpha$ 那样的对称性换算。

统计推断选用表

下表中的精确分布均需相应的正态与独立条件；记 $\nu=n-1$ ， $S_p$ 为合并标准差， $S_D$ 为配对差值的样本标准差。

目标	统计量或枢轴量	分布
单均值，方差已知	$(\bar X-\mu)/(\sigma/\sqrt n)$	$N(0,1)$
单均值，方差未知	$(\bar X-\mu)/(S/\sqrt n)$	$t(n-1)$
单方差，均值未知	$(n-1)S^2/\sigma^2$	$\chi^2(n-1)$
独立两均值差，未知等方差	$[\bar X-\bar Y-(\mu_1-\mu_2)]/[S_p\sqrt{1/n_1+1/n_2}]$	$t(n_1+n_2-2)$
独立两方差比	$(S_1^2/S_2^2)/(\sigma_1^2/\sigma_2^2)$	$F(n_1-1,n_2-1)$
配对均值差	$(\bar D-\mu_D)/(S_D/\sqrt n)$	$t(n-1)$
单因素均值比较	$MS_A/MS_E$	$F(k-1,N-k)$ ，原假设下
多元回归整体检验	$(SSR/p)/[SSE/(n-p-1)]$	$F(p,n-p-1)$ ，原假设下

这些统计量的推导与使用分别见区间估计、假设检验、单样本检验、两样本检验、方差分析、一元线性回归与多元线性回归。

常见解题路线

求概率

先翻译事件，再选古典、条件、全概率、独立或分布计算。
求分布

先范围，后分布函数；单调变换可用反函数，非单调分支需合并。
求数字特征

优先用线性性、指示变量、函数期望公式；乘积或方差拆分要查独立或协方差条件。
求近似概率

区分大数定律的界、中心极限定理的近似；离散到正态时考虑连续性修正。
求估计

矩估计列总体矩方程；最大似然保留支持约束并检查边界。
做检验

先模型与假设方向，再统计量、原假设分布、拒绝域、数据与结论。
做回归

先模型条件，再系数、残差平方和、自由度、检验或预测区间。

题集

练习

设 $X$ 为首次成功所需的总试验次数，成功概率 $p=0.25$ ，则 $E(X)=$ 。
参考解答
几何分布的期望是 $1/p=4$ 。同一行的方差是 $(1-p)/p^2=12$ ，两个公式不要混用。
$\chi^2(6)$ 的方差为。
参考解答
$\chi^2(\nu)$ 的方差是 $2\nu$ ，代入 $\nu=6$ 得 $12$ 。
$\sum_{k=0}^{\infty}\left(\dfrac12\right)^k=$ 。
参考解答
等比级数 $\sum_{k=0}^{\infty}q^k=\dfrac{1}{1-q}$ ，取 $q=1/2$ 得 $2$ 。
两个独立正态样本的样本量分别为 $n_1=8$ 与 $n_2=6$ ，方差未知但假定相等。检验均值差时，合并方差对应的 $t$ 分布自由度是。
参考解答
自由度是 $n_1+n_2-2=12$ 。
正态总体、方差已知，求 $\mu$ 的 $95\%$ 双侧置信区间时应使用
选择答案
A
$z_{0.05}=1.645$
B
$z_{0.025}=1.960$
C
$z_{0.01}=2.326$
D
$z_{0.005}=2.576$
参考解答
双侧区间把 $\alpha=0.05$ 分到两侧，每侧 $0.025$ ，所以用上侧分位点 $z_{0.025}=1.960$ 。
设 $0<\alpha<1$ 。把左侧的F分位点用上侧分位点表示，正确的是
选择答案
A
$F_{1-\alpha}(\nu_1,\nu_2)=1/F_\alpha(\nu_2,\nu_1)$
B
$F_{1-\alpha}(\nu_1,\nu_2)=1/F_\alpha(\nu_1,\nu_2)$
C
$F_{1-\alpha}(\nu_1,\nu_2)=-F_\alpha(\nu_2,\nu_1)$
D
$F_{1-\alpha}(\nu_1,\nu_2)=F_\alpha(\nu_2,\nu_1)$
参考解答
由 $F_\alpha(\nu_1,\nu_2)=1/F_{1-\alpha}(\nu_2,\nu_1)$ 反解，得 $F_{1-\alpha}(\nu_1,\nu_2)=1/F_\alpha(\nu_2,\nu_1)$ ，两个自由度同时交换位置。