总体均值的置信区间

定义与构造

以下区间以 $1-\alpha$ 为置信水平，分位点采用上侧分位点约定。

设 $X_1,\ldots,X_n$ 是来自均值为 $\mu$ 、方差为 $\sigma^2$ 的总体的简单随机样本， $n\ge2$ ，记

\bar X=\frac1n\sum_{i=1}^nX_i,\qquad S^2=\frac1{n-1}\sum_{i=1}^n(X_i-\bar X)^2,\qquad S=\sqrt{S^2}.

除单侧界一节外，以下使用等尾双侧区间。

正态总体均值

本段假设总体服从 $N(\mu,\sigma^2)$ 。

方差 $\sigma^2$ 已知时， $Z=\dfrac{\bar X-\mu}{\sigma/\sqrt n}\sim N(0,1)$ ，由 $P\{-z_{\alpha/2}\le Z\le z_{\alpha/2}\}=1-\alpha$ 解出

\mu\in\left[\bar X-z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt n},\ \bar X+z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt n}\right].

方差未知时，用 $S$ 代替 $\sigma$ ，统计量 $T=\dfrac{\bar X-\mu}{S/\sqrt n}\sim t(n-1)$ ，于是

\mu\in\left[\bar X-t_{\alpha/2}(n-1)\frac{S}{\sqrt n},\ \bar X+t_{\alpha/2}(n-1)\frac{S}{\sqrt n}\right].

两式的推导相同：先写出枢轴量落在两个分位点之间的概率，再对 $\mu$ 解不等式。

大样本近似

对一般总体，只要方差有限、样本量足够大，就可由中心极限定理用

\mu\in \bar X\pm z_{\alpha/2}\frac{S}{\sqrt n}

近似， $S$ 为样本标准差。样本量多大算“足够大”取决于总体的偏斜程度与尾部；总体严重偏斜或样本很小时，这个近似不可靠。

单侧界

单侧问题只需要一个界限。正态总体、方差未知时，由 $P\{T\le t_\alpha(n-1)\}=1-\alpha$ 得置信水平 $1-\alpha$ 的置信下限

\mu_L=\bar X-t_\alpha(n-1)\frac{S}{\sqrt n},

即 $\mu\in[\mu_L,+\infty)$ ；同理置信上限为

\mu_U=\bar X+t_\alpha(n-1)\frac{S}{\sqrt n},

对应 $\mu\in(-\infty,\mu_U]$ 。方差已知时把 $t_\alpha(n-1)$ 换成 $z_\alpha$ 。单侧界使用上 $\alpha$ 分位点，双侧区间使用上 $\alpha/2$ 分位点： $1-\alpha$ 的把握全部放在一侧，尾概率就是 $\alpha$ ，不需要再平分。

样本量

方差已知，要求双侧均值区间的半宽不超过 $d$ 时，需要

z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt n}\le d \quad\Longrightarrow\quad n\ge\left(\frac{z_{\alpha/2}\sigma}{d}\right)^2.

计算结果向上取整：样本量是整数，而条件是“至少”。 $\sigma$ 未知时只能先用估计值或预调查的 $S$ 代替，得到的是近似样本量。

例子

方差已知的均值区间

设总体为 $N(\mu,10^2)$ ， $n=25$ ， $\bar x=104$ ，置信水平 $95\%$ ，即 $\alpha=0.05$ ， $z_{0.025}=1.96$ 。半宽为

1.96\times\frac{10}{\sqrt{25}}=3.92,

所以 $\mu$ 的 $95\%$ 置信区间为 $[104-3.92,\ 104+3.92]=[100.08,\ 107.92]$ 。

方差未知的均值区间

$n=25$ ， $\bar x=10$ ， $s=2$ ， $\alpha=0.05$ 。自由度 $24$ ， $t_{0.025}(24)=2.0639$ ，半宽为

2.0639\times\frac{2}{5}=0.82556,

区间约为 $[9.174,\ 10.826]$ 。这里用 $t(24)$ 而不是 $z$ ： $\sigma$ 未知，用 $S$ 代替后统计量服从 $t$ 分布。

探索

样本量如何影响均值区间的宽度？

线段表示置信区间，圆点表示样本均值。

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题集

练习

设总体为 $N(\mu,4^2)$ ，取 $n=16$ 的样本， $\bar x=20$ ， $z_{0.025}=1.96$ 。 $\mu$ 的 $95\%$ 置信区间的半宽为。
参考解答
半宽为 $z_{0.025}\sigma/\sqrt n=1.96\times4/4=1.96$ ，区间为 $[18.04,\ 21.96]$ 。
正态总体、方差未知，样本量 $n=20$ ， $\mu$ 的 $95\%$ 置信区间使用 $t$ 分布。自由度为。
参考解答
方差未知时统计量为 $\dfrac{\bar X-\mu}{S/\sqrt n}\sim t(n-1)$ ，自由度为 $n-1=19$ 。
正态总体方差已知， $\sigma=2$ ，要求 $\mu$ 的 $95\%$ 双侧置信区间半宽不超过 $0.5$ 。取 $z_{0.025}=1.96$ ，所需的最小样本量为。
参考解答
$n\ge(1.96\times2/0.5)^2=61.4656$ ，向上取整得 $62$ 。样本量必须是整数，不能四舍五入到 $61$ 。