多元回归的单个系数推断

考虑含截距的多元线性回归：有 $n$ 个观测与 $p$ 个斜率，设计矩阵满列秩，$n>p+1$。假定误差相互独立且服从 $N(0,\sigma^2)$，记误差方差估计为 $s^2=SSE/(n-p-1)$，并采用上侧分位点。

记

并令 $c_{jj}$ 为 $C$ 中与 $\beta_j$ 对应的对角元（下标跟随系数编号，截距对应 $c_{00}$）。检验

使用统计量

其中 $s=\sqrt{s^2}$。对应的 $1-\alpha$ 置信区间为

这里 $t_{\alpha/2}(n-p-1)$ 是上侧 $\alpha/2$ 分位点，双侧检验的拒绝域为 $|T_j|>t_{\alpha/2}(n-p-1)$。

这个检验是在模型中保留其他解释变量的条件下进行的：它衡量的是在已有其他变量时，第 $j$ 个变量是否还有额外贡献。它与只对 $x_j$ 和 $Y$ 做一元回归得到的斜率检验不是同一个问题，两者的估计值与标准误都可能不同。