单个正态总体方差检验

定义

设 $X_1,\ldots,X_n$ 是来自正态总体 $N(\mu,\sigma^2)$ 的简单随机样本， $\bar X$ 与 $S^2$ 分别为样本均值和分母为 $n-1$ 的样本方差。检验以原假设为基准，方向和显著性水平应事先确定。

性质

均值未知时，检验 $H_0:\sigma^2=\sigma_0^2$ 使用

Q=\frac{(n-1)S^2}{\sigma_0^2}\sim\chi^2(n-1).

记 $\nu=n-1$ ，拒绝域按备择方向取：

备择假设	拒绝域
$\sigma^2\ne\sigma_0^2$	$Q<\chi_{1-\alpha/2}^2(\nu)$ 或 $Q>\chi_{\alpha/2}^2(\nu)$
$\sigma^2>\sigma_0^2$	$Q>\chi_{\alpha}^2(\nu)$
$\sigma^2<\sigma_0^2$	$Q<\chi_{1-\alpha}^2(\nu)$

上面的公式以 $\mu$ 未知、用 $\bar X$ 估计中心为前提。若总体均值 $\mu$ 已知，就不必再估计它，改用

\frac{\sum_{i=1}^n(X_i-\mu)^2}{\sigma_0^2}\sim\chi^2(n),

自由度相应地从 $n-1$ 改成 $n$ 。自由度不同的卡方分位点不能互换。

例子

方差检验的双侧与单侧

设总体正态、均值未知， $n=16$ ，样本方差 $s^2=16$ ，检验 $H_0:\sigma^2=9$ 。

Q=\frac{15\times16}{9}\approx26.67,\qquad \nu=15.

若备择假设为 $\sigma^2>9$ ，临界值为 $\chi_{0.05}^2(15)\approx24.996$ ， $Q$ 超过它，拒绝 $H_0$ ，认为方差偏大。

一旦把问题改成双侧 $H_1:\sigma^2\ne9$ ，就要同时看两侧： $\chi_{0.975}^2(15)\approx6.262$ ， $\chi_{0.025}^2(15)\approx27.488$ 。此时 $Q\approx26.67$ 落在两个临界值之间，不拒绝 $H_0$ 。同一个统计量在两套假设下给出不同结论，原因只是拒绝域的范围变了。

探索

方差检验的统计量与自由度怎样计算？

改变样本量与样本方差，计算卡方统计量。

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题集

练习

设总体正态，均值 $\mu$ 已知，用 $\sum_{i=1}^n(X_i-\mu)^2/\sigma_0^2$ 检验 $H_0:\sigma^2=\sigma_0^2$ ，样本容量 $n=10$ ，该统计量服从的卡方分布的自由度为。
参考解答
中心用的是已知的 $\mu$ ，没有用 $\bar X$ 去估计它，因而不损失自由度，自由度就是 $n=10$ 。若改用样本均值 $\bar X$ ，自由度为 $n-1=9$ 。