次序统计量

把样本按从小到大重新排列，记

X_{(1)}\le X_{(2)}\le\cdots\le X_{(n)}.

$X_{(k)}$ 称为第 $k$ 个次序统计量。其中 $X_{(1)}=\min_iX_i$ 是样本最小值， $X_{(n)}=\max_iX_i$ 是样本最大值，样本中位数也是由次序统计量定义的。

设总体是连续型，分布函数为 $F$ ，密度为 $f$ ，则 $X_{(k)}$ 的密度为

f_{X_{(k)}}(x)=\frac{n!}{(k-1)!(n-k)!}\bigl[F(x)\bigr]^{k-1}\bigl[1-F(x)\bigr]^{n-k}f(x).

证明

考察 $X_{(k)}$ 落在小区间 $(x,x+\mathrm dx]$ 内的概率。要使第 $k$ 小的观测值落在这个区间里，必须做到三件事：

样本独立，所以可以把这些概率直接相乘，再乘上把 $n$ 个观测值分配到三类位置的分法数 $\dfrac{n!}{1!\,(k-1)!\,(n-k)!}$ ，得到

P\{x<X_{(k)}\le x+\mathrm dx\} =\frac{n!}{(k-1)!(n-k)!}\bigl[F(x)\bigr]^{k-1}\bigl[1-F(x)\bigr]^{n-k}f(x)\,\mathrm dx.

两边除以 $\mathrm dx$ 即得密度。

定义