多元回归的均值区间与预测区间

考虑含截距的多元线性回归：有 $n$ 个观测与 $p$ 个斜率，设计矩阵满列秩，$n>p+1$。假定误差相互独立且服从 $N(0,\sigma^2)$，记误差方差估计为 $s^2=SSE/(n-p-1)$，并采用上侧分位点。

在 $\boldsymbol x_0=(1,x_{01},\ldots,x_{0p})^{\mathsf T}$ 处，点预测为

条件均值 $E(Y\mid \boldsymbol x_0)$ 的 $1-\alpha$ 置信区间半宽为

与已有观测独立、在 $\boldsymbol x_0$ 处服从同一模型且具有相同误差方差的新观测 $Y_0$ 的预测区间，根号内还要再加 $1$，半宽为

多出的 $1$ 对应新个体自身的随机波动，所以预测区间总比同一位置的均值响应区间宽。