独立样本均值差的置信区间

定义与构造

以下区间以 $1-\alpha$ 为置信水平，分位点采用上侧分位点约定。

设 $X_1,\ldots,X_{n_1}$ 与 $Y_1,\ldots,Y_{n_2}$ 分别来自 $N(\mu_1,\sigma_1^2)$ 与 $N(\mu_2,\sigma_2^2)$ ，两个样本相互独立， $n_1,n_2\ge2$ ，样本均值与样本方差记为

\bar X,\ \bar Y,\ S_1^2,\ S_2^2,

其中 $S_i^2$ 的分母是 $n_i-1$ 。下面把区间写成“中心 $\pm$ 半宽”， $\pm$ 表示闭区间的两个端点。

\mu_1-\mu_2\in(\bar X-\bar Y)\pm z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}}.

令合并方差

S_p^2=\frac{(n_1-1)S_1^2+(n_2-1)S_2^2}{n_1+n_2-2},

则

\mu_1-\mu_2\in(\bar X-\bar Y)\pm t_{\alpha/2}(n_1+n_2-2)\,S_p\sqrt{\frac1{n_1}+\frac1{n_2}}.

合并方差以两组的自由度为权重，自由度相加得 $n_1+n_2-2$ 。

用Welch近似，标准误为 $\sqrt{\dfrac{S_1^2}{n_1}+\dfrac{S_2^2}{n_2}}$ ，近似自由度为

\nu=\frac{\left(\dfrac{S_1^2}{n_1}+\dfrac{S_2^2}{n_2}\right)^2}{\dfrac{(S_1^2/n_1)^2}{n_1-1}+\dfrac{(S_2^2/n_2)^2}{n_2-1}},

$\mu_1-\mu_2$ 的近似区间为

(\bar X-\bar Y)\pm t_{\alpha/2}(\nu)\sqrt{\frac{S_1^2}{n_1}+\frac{S_2^2}{n_2}}.

$\nu$ 由样本估计，通常不是整数。方差不相等时仍套用合并方差公式，会错误地估计标准误，区间不再具有所声称的置信水平。

两个正态总体均值差的区间

两组样本量都是 $10$ ， $s_1^2=4$ ， $s_2^2=6$ ， $\bar x-\bar y=1.2$ ， $\alpha=0.05$ 。方差相等时

S_p^2=\frac{9\times4+9\times6}{18}=5,\qquad S_p=\sqrt5.

自由度 $18$ ， $t_{0.025}(18)=2.1009$ ，半宽为

2.1009\times\sqrt5\times\sqrt{\frac1{10}+\frac1{10}}=2.1009.

区间约为 $[-0.901,\ 3.301]$ ，包含 $0$ ，与“两组均值没有显著差异”的判断一致。若方差不假定相等，应改用Welch近似，而不是这个合并方差区间。

线段表示均值差区间，圆点表示样本均值差，虚线表示零。