多元回归的整体显著性检验

考虑含截距的多元线性回归：有 $n$ 个观测与 $p$ 个斜率，设计矩阵满列秩，$n>p+1$。假定误差相互独立且服从 $N(0,\sigma^2)$，记误差方差估计为 $s^2=SSE/(n-p-1)$，并采用上侧分位点。

整体检验的原假设是所有斜率同时为零：

含截距时仍有平方和分解

其中 $SSR$ 是回归平方和。在 $H_0$ 与正态误差下，

当 $F>F_\alpha(p,n-p-1)$ 时拒绝 $H_0$，认为至少有一个斜率不为零。这里 $F_\alpha$ 是上侧 $\alpha$ 分位点，检验只用右尾。

整体显著只说明 $p$ 个斜率中至少有一个不为零，并不保证每个解释变量都显著，也不指出是哪一个变量在起作用。要定位具体变量，还要逐个检查单个系数，或者比较嵌套模型。