一元回归中的均值区间与预测区间

在一元线性回归中，设 $n>2$、$L_{xx}=\sum_i(x_i-\bar x)^2>0$，$s^2=SSE/(n-2)$，且误差独立同分布为正态，$s>0$。

在给定的 $x_0$ 处，点预测为

条件均值 $E(Y\mid x_0)$ 的 $1-\alpha$ 置信区间为

设新个体 $Y_0$ 与已有观测独立，在 $x_0$ 处服从同一线性模型且误差方差仍为 $\sigma^2$，则它的预测区间为

预测区间根号内多出的 $1$ 对应新个体自身的随机波动，所以同一位置上的预测区间总比均值响应区间宽。两种区间都在 $x_0$ 远离 $\bar x$ 时变宽。

若 $x_0$ 超出观测到的 $x$ 范围，公式仍按同一条直线外推，但线性关系在范围外是否成立没有任何数据支持；外推结论要比内插结论弱得多。