课程笔记

4.1积分公式

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设函数 $f$ 在区间 $I$ 上有定义。若 $F'(x)=f(x)$ 对 $I$ 内每一点成立，则称 $F$ 是 $f$ 在 $I$ 上的一个原函数。 $f$ 的全体原函数记作

\int f(x)\,\mathrm{d}x=F(x)+C,

其中 $C$ 是任意常数，称为积分常数。这个记号表示一个函数族：给 $F$ 加上不同的常数，得到的仍然是 $f$ 的原函数；反过来，同一区间上的任意两个原函数只相差一个常数。

积分号中的 $\mathrm{d}x$ 与积分号配对，说明对哪个变量积分，不是与 $f(x)$ 相乘的因子。换用其它字母作积分变量时公式形式不变，例如 $\int f(t)\,\mathrm{d}t=F(t)+C$ 。

每个公式只在被积函数有定义的区间上成立。区间不能跨越被积函数的间断点；例如 $\int \frac{1}{x}\,\mathrm{d}x=\ln\lvert x\rvert+C$ 分别在 $(-\infty,0)$ 和 $(0,+\infty)$ 上成立，两段上的常数可以取不同的值。
写不定积分的结果时不能漏掉 $C$ 。需要确定某一个具体的原函数时，再用附加条件定出 $C$ 。
对结果求导可以检验公式：若右边求导后等于被积函数，公式在该区间上就成立。

积分常数与适用区间要和公式一起记录。

以下默认 $C$ 为任意常数， $\alpha$ 为实数， $a$ 与 $k$ 为常数。个别公式对 $a$ 的范围有额外要求时写在条件栏。每一条公式都在被积函数有定义的任意区间上成立。

这些公式是微分运算的逆运算，是积分计算的核心。

这些公式在涉及分式和三角函数时非常常用。

这些积分的结果通常用于有理分式和根式代换后的计算。

积分	结果	条件
$\int \dfrac{1}{a^{2}+x^{2}}\,\mathrm{d}x$	$\dfrac{1}{a}\arctan\dfrac{x}{a}+C$	$a\ne 0$
$\int \dfrac{1}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}\,\mathrm{d}x$	$\arcsin\dfrac{x}{a}+C$	$a>0$ ， $\lvert x\rvert<a$
$\int \dfrac{1}{\sqrt{x^{2}\pm a^{2}}}\,\mathrm{d}x$	$\ln\left\lvert x+\sqrt{x^{2}\pm a^{2}}\right\rvert+C$	$a\ne 0$ ， $x^{2}\pm a^{2}>0$
$\int \dfrac{1}{x^{2}-a^{2}}\,\mathrm{d}x$	$\dfrac{1}{2a}\ln\left\lvert\dfrac{x-a}{x+a}\right\rvert+C$	$a\ne 0$ ， $x\ne\pm a$

第三行的两个根式要分别看待：取 $x^{2}+a^{2}$ 时对任意 $x$ 都有定义；取 $x^{2}-a^{2}$ 时要求 $\lvert x\rvert>\lvert a\rvert$ 。

这些公式通常由分部积分法或三角代换得到，建议连同条件一起记住结果。

积分	结果	条件
$\int \ln x\,\mathrm{d}x$	$x\ln x-x+C$	$x>0$
$\int \arctan x\,\mathrm{d}x$	$x\arctan x-\dfrac{1}{2}\ln(1+x^{2})+C$	—
$\int \sqrt{a^{2}-x^{2}}\,\mathrm{d}x$	$\dfrac{x}{2}\sqrt{a^{2}-x^{2}}+\dfrac{a^{2}}{2}\arcsin\dfrac{x}{a}+C$	$a>0$ ， $\lvert x\rvert\le a$
$\int \sqrt{x^{2}\pm a^{2}}\,\mathrm{d}x$	$\dfrac{x}{2}\sqrt{x^{2}\pm a^{2}}\pm\dfrac{a^{2}}{2}\ln\left\lvert x+\sqrt{x^{2}\pm a^{2}}\right\rvert+C$	$a\ne 0$ ， $x^{2}\pm a^{2}>0$

表里的每一行都可以用求导检验；“重点与易错点”只挑最容易记错的那几行，其余靠默写。

教材把基本积分表分成五组：基础函数、三角函数、常用扩展、反三角与复杂根式、特殊积分。前两组直接由求导公式反写；常用扩展组用恒等变形或凑微分得到；反三角与根式组在换元时反复出现；特殊积分组通常要等分部积分和三角代换学完才能独立推出。

复习时按同样的顺序过一遍：先默写基础组，再检查扩展组，最后处理特殊积分。遇到记不清的公式，对右边求导验证，比重新推导更快。

全表默认 $C$ 为任意常数， $\alpha$ 为任意实数且 $\alpha\ne-1$ ； $a$ 与 $k$ 为非零常数，指数函数要求 $a>0$ 且 $a\ne1$ ，含 $\sqrt{a^{2}-x^{2}}$ 的公式要求 $a>0$ 。
公式统一使用 $\mathrm{d}x$ ，它标明积分变量，并与被积函数配对。
公式适用于使被积函数有定义的区间；含绝对值的对数结果，例如 $\int\frac{1}{x}\,\mathrm{d}x$ ，要保留绝对值。

漏写 $C$ 是最常见的失分点；写出的原函数必须带积分常数。
$\int x^{\alpha}\,\mathrm{d}x$ 的公式在 $\alpha=-1$ 时不适用，此时改用 $\int\frac{1}{x}\,\mathrm{d}x=\ln\lvert x\rvert+C$ 。
指数函数 $\int a^{x}\,\mathrm{d}x$ 的分母是 $\ln a$ ，不是 $a$ ； $a=1$ 时公式退化，要单独处理。
反三角与根式组的系数 $\frac{1}{a}$ 、 $\frac{1}{2a}$ 、 $\frac{a^{2}}{2}$ 容易漏写，记忆时连同条件一起记。
验证时注意区间： $\ln\lvert x\rvert$ 在 $x=0$ 两侧分别成立，不能把两段拼成一个区间。

默写时先用求导检查基础组，再回看扩展组；特殊积分组不要求一次背全，先能由分部积分推出 $\int\ln x\,\mathrm{d}x$ 和 $\int\arctan x\,\mathrm{d}x$ 。