课程笔记

11.2对坐标的曲线积分

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教材在上一节建立了对弧长的曲线积分，本节改用有向小弧段的坐标增量定义对坐标的曲线积分，并立刻给出向量形式。下一节的格林公式以 $P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y$ 为对象，所以本节的参数化计算是整章的基础。

阅读顺序建议是：先看有向弧段与 $\Delta x_i$ 、 $\Delta y_i$ 的符号，再读参数方程下的计算公式，然后比较方向性与可加性，最后看两类积分的联系公式。联系公式在格林公式之后还会反过来用，不宜跳读。

设 $L$ 为 $xOy$ 平面内从点 $A$ 到点 $B$ 的一条有向光滑曲线弧，函数 $P(x,y)$ 、 $Q(x,y)$ 在 $L$ 上有界。沿 $L$ 的方向，用 $L$ 上的点 $M_1,M_2,\dots,M_{n-1}$ 将 $L$ 分成 $n$ 个有向小弧段

\overrightarrow{M_{i-1}M_i}\qquad (i=1,2,\dots,n),

其中 $M_0=A$ ， $M_n=B$ 。记

\Delta x_i=x_i-x_{i-1},\qquad \Delta y_i=y_i-y_{i-1},

它们是有向小弧段在两条坐标轴上的投影，方向相反时投影变号。在每个小弧段上任取一点 $(\xi_i,\eta_i)$ ，作和式

\sum_{i=1}^{n}P(\xi_i,\eta_i)\,\Delta x_i, \qquad \sum_{i=1}^{n}Q(\xi_i,\eta_i)\,\Delta y_i.

记 $\lambda$ 为各小弧段长度的最大值。若 $\lambda\to 0$ 时上述两个和式的极限都存在，且与分法及取点无关，则分别称它们为函数 $P(x,y)$ 、 $Q(x,y)$ 在有向曲线弧 $L$ 上对坐标的曲线积分，也称第二类曲线积分，记作

\int_L P(x,y)\,\mathrm{d}x+Q(x,y)\,\mathrm{d}y.

记号中的两个积分分别与 $\mathrm{d}x$ 、 $\mathrm{d}y$ 配对，合并写法表示二者之和。若 $P$ 、 $Q$ 在 $L$ 上连续，则这两个积分存在。

若记 $\mathbf F=(P,Q)$ ， $\mathrm{d}\mathbf r=(\mathrm{d}x,\mathrm{d}y)$ ，则也可写成向量形式

\int_L \mathbf F\cdot\mathrm{d}\mathbf r =\int_L P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y.

对空间有向曲线 $\Gamma$ ，类似地定义

\int_\Gamma P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y+R\,\mathrm{d}z.

物理意义：变力 $\mathbf F=(P,Q)$ 沿有向曲线 $L$ 所做的功为

W=\int_L P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y =\int_L \mathbf F\cdot\mathrm{d}\mathbf r.

有向弧段的定义落到计算上仍是参数化，只是上下限要按方向排。

第二类曲线积分同样通过参数化化成定积分，但参数的起止值必须与曲线的起点、终点对应。

写出有向曲线的参数方程

确认参数 $t=\alpha$ 对应起点、 $t=\beta$ 对应终点。参数可以不满足 $\alpha<\beta$ ，关键是起止点与方向一致。
写出坐标微分

由 $x=\varphi(t)$ 、 $y=\psi(t)$ 得
$\mathrm{d}x=\varphi'(t)\,\mathrm{d}t,\qquad \mathrm{d}y=\psi'(t)\,\mathrm{d}t.$
代入并合并

把 $x,y,\mathrm{d}x,\mathrm{d}y$ 一起代入，得到只含 $t$ 的定积分。
按方向确定上下限

从起点对应的参数积到终点对应的参数。若中途交换上下限，必须同时改变积分符号。

两类积分各自能算之后，才谈得上把它们互相转换。

设有向曲线弧 $L$ 的起点为 $A$ 、终点为 $B$ 。在 $L$ 上任一点 $(x,y)$ 处，取指向曲线方向的单位切向量

\mathbf T=(\cos\alpha,\cos\beta),

其中 $\alpha$ 、 $\beta$ 分别是 $\mathbf T$ 与 $x$ 轴、 $y$ 轴正向的夹角。由于 $\mathrm{d}s>0$ 是弧长元素，

\mathrm{d}x=\cos\alpha\,\mathrm{d}s,\qquad \mathrm{d}y=\cos\beta\,\mathrm{d}s.

代入第二类曲线积分，得到

\int_L P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y =\int_L (P\cos\alpha+Q\cos\beta)\,\mathrm{d}s.

对空间有向曲线 $\Gamma$ ，若单位切向量的方向余弦为 $\cos\alpha$ 、 $\cos\beta$ 、 $\cos\gamma$ ，则

\int_\Gamma P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y+R\,\mathrm{d}z =\int_\Gamma (P\cos\alpha+Q\cos\beta+R\cos\gamma)\,\mathrm{d}s.

联系公式说明：第二类曲线积分可以看作以方向余弦为权重的第一类曲线积分。方向余弦的符号由 $L$ 的方向决定，所以右端仍随方向变号； $\mathrm{d}s$ 本身始终为正。

联系公式之后就是下一节的格林公式；课程约定把方向余弦的符号先固定下来。

有向曲线弧记作 $L$ ，起点为 $A$ 、终点为 $B$ ；与 $L$ 方向相反的弧记作 $L^-$ 。
向量形式中取 $\mathbf F=(P,Q)$ 、 $\mathrm{d}\mathbf r=(\mathrm{d}x,\mathrm{d}y)$ ，教材把第二类积分写成 $\int_L\mathbf F\cdot\mathrm{d}\mathbf r$ 。
两类积分联系公式里的 $\cos\alpha$ 、 $\cos\beta$ 是有向单位切向量的方向余弦，带符号； $\mathrm{d}s$ 仍取正值。
空间曲线用 $\Gamma$ 表示，被积表达式增加 $R\,\mathrm{d}z$ 一项。

参数 $t$ 的起止值必须和曲线的起点、终点对应。方向反了要改上下限或在结果前加负号，不能只改被积表达式。
计算时两个坐标微分都要乘上对应的参数导数，漏乘是本节最常见的计算错误。
第二类积分反向变号，第一类积分反向不变号。题目把两类积分放在一起时，先确认 $\mathrm{d}s$ 还是 $\mathrm{d}x$ 、 $\mathrm{d}y$ 。
联系公式中方向余弦决定符号，不能把 $\cos\alpha$ 、 $\cos\beta$ 当成普通夹角余弦取正值。

复习时先看曲线是否闭合、方向是否给定，再决定直接参数化还是寻找原函数。若被积表达式恰是某个函数的全微分，优先用端点值相减，下一节的路径无关判定会解释这样做的条件。