1.9幂指函数

形如

的函数称为幂指函数，其中底数 $u(x)$ 与指数 $v(x)$ 都是自变量 $x$ 的函数。

本页要求 $u(x)>0$。这既保证 $[u(x)]^{v(x)}$ 在实数范围内有定义，也保证可以对 $u(x)$ 取对数；讨论 $x^x$ 时，范围就是 $x>0$。

幂指函数不是幂函数，也不是指数函数，而是两者的推广：幂函数的底数是变量、指数是常数，指数函数的底数是常数、指数是变量，幂指函数则两者都随 $x$ 变化。它仍然是复合函数，但不能直接套用

因为这两个公式各自假定底数或指数中有一个是常量。

为书写方便，下文把 $u(x)$、$v(x)$ 简记为 $u$、$v$，并默认它们在所讨论的点可导，或在求极限时极限存在。

求导的核心是对数求导法：先用 $a=e^{\ln a}$ 把幂指函数写成以 $e$ 为底的复合函数，再按链式法则求导。

设 $u>0$ 且 $u$、$v$ 都可导，则

用公式时注意两项的来源：$v'\ln u$ 来自指数 $v$ 的变化，$v\dfrac{u'}{u}$ 来自底数 $u$ 的变化，两项都不能漏。

若 $\lim\limits_{x\to x_0}u(x)=a>0$、$\lim\limits_{x\to x_0}v(x)=b$ 都存在，且 $a^b$ 不是不定型，则

这是因为 $u^v=e^{v\ln u}$ 在 $u>0$ 时关于 $(u,v)$ 连续。这类题不需要变形，直接代入即可。

幂指函数的不定式有三类。它们的共同点是 $v\ln u$ 成为 $0\cdot\infty$ 型：

$0^0$ 型必须要求 $u\to0^+$，否则 $\ln u$ 没有实值，函数在实数范围内无定义。

先把幂指函数写成指数形式，利用 $e^x$ 的连续性把极限移到指数上：

于是问题化为求 $L$。把 $v\ln u$ 写成 $\dfrac{\ln u}{1/v}$ 或 $\dfrac{v}{1/\ln u}$，就得到 $\dfrac{0}{0}$ 或 $\dfrac{\infty}{\infty}$ 型，可以再用洛必达法则或等价无穷小。求出 $L$（包括 $L=\pm\infty$）后，原极限为 $e^L$。

若 $u(x)\to1$、$v(x)\to\infty$，且 $(u(x)-1)v(x)$ 的极限 $L$ 存在（或为 $\pm\infty$），则

这是因为 $u\to1$ 时 $\ln u=\ln\bigl(1+(u-1)\bigr)\sim u-1$，所以 $v\ln u$ 与 $(u-1)v$ 等价。指数部分因此从 $\ln u$ 简化成一次式，比原式好算。这个公式与第二个重要极限同源。