2.2函数的求导法则 · Learning Notes

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教材先列基本初等函数的导数公式，再讲四则运算法则，最后把复合、隐函数、反函数和参数方程作为“其他求导方法”集中处理。这样安排的用意是：先把公式表练熟，再把复杂函数拆成基本函数的组合。

链式法则是本节的分水岭。后面的隐函数求导、反函数求导和参数方程求导都要用到它；如果这一节能把“分层—分别求导—相乘”练顺，后面的方法只是换一种书写形式。

幂指函数 $y=u(x)^{v(x)}$ 独立于基本初等函数，因此用对数求导法处理；更完整的讨论见幂指函数。

设 $u=u(x)$ 、 $v=v(x)$ 都可导，则

[Cu]'=Cu',\qquad [u\pm v]'=u'\pm v',

[uv]'=u'v+uv',\qquad \left[\frac{u}{v}\right]'=\frac{u'v-uv'}{v^2}\quad (v\ne 0).

三个函数相乘时，

[uvw]'=u'vw+uv'w+uvw'.

商法则有一个常用特例：

\left[\frac{C}{v}\right]'=-\frac{Cv'}{v^2}\quad (v\ne 0).

设 $u=g(x)$ 在 $x$ 处可导， $y=f(u)$ 在 $u=g(x)$ 处可导，则复合函数 $y=f(g(x))$ 在 $x$ 处可导，且

\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}u}\cdot\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x},

或写成

[f(g(x))]'=f'(g(x))\cdot g'(x).

也就是说，复合函数对自变量的导数，等于外层函数对内层函数的导数，乘以内层函数对自变量的导数。

若 $y=f(u)$ 、 $u=g(v)$ 、 $v=h(x)$ ，则

\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}u} \cdot\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}v} \cdot\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}.

从最外层开始逐层求导，每穿过一层就乘上该层内层函数的导数。

本节同时使用 $y'$ 、 $f'(x)$ 和 $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ 。前两者强调函数关系，后者强调对自变量求导。
对复合函数使用 $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}u}\cdot\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}$ 时， $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}u}$ 中的 $y$ 是外层函数， $\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}$ 中的 $u$ 是内层函数。
隐函数求导的结果允许同时含 $x$ 和 $y$ ，不需要先解出 $y$ 。

这一节的方法可以统一成一句话：把陌生函数拆成已知函数的复合，再逐层乘上内层导数。隐函数、反函数、参数方程只是“拆”的方式不同。