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课程笔记

5.4反常积分

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反常积分的定义

无穷限的反常积分

设 ff 在 [a,+∞)[a,+\infty) 上连续，取 t>at>a。若极限 lim⁡t→+∞∫atf(x) dx\lim_{t\to+\infty}\int_a^tf(x)\,\mathrm{d}x 存在，则称它为 ff 在 [a,+∞)[a,+\infty) 上的反常积分，记作

∫a+∞f(x) dx=lim⁡t→+∞∫atf(x) dx,\int_a^{+\infty}f(x)\,\mathrm{d}x=\lim_{t\to+\infty}\int_a^tf(x)\,\mathrm{d}x,

此时称积分收敛；若极限不存在，则称积分发散。

类似地：

  • 在 (−∞,b](-\infty,b] 上，∫−∞bf(x) dx=lim⁡t→−∞∫tbf(x) dx\displaystyle\int_{-\infty}^bf(x)\,\mathrm{d}x=\lim_{t\to-\infty}\int_t^bf(x)\,\mathrm{d}x。
  • 在 (−∞,+∞)(-\infty,+\infty) 上，任取 cc， ∫−∞+∞f(x) dx=∫−∞cf(x) dx+∫c+∞f(x) dx\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\,\mathrm{d}x=\int_{-\infty}^cf(x)\,\mathrm{d}x+\int_c^{+\infty}f(x)\,\mathrm{d}x；右端两个积分都收敛时，原积分才收敛。

若 f(x)≥0f(x)\ge 0，∫a+∞f(x) dx\int_a^{+\infty}f(x)\,\mathrm{d}x 收敛表示曲线 y=f(x)y=f(x)、直线 x=ax=a 与 xx 轴围成的无界区域面积有限。这是反常积分与定积分共享的几何意义。

无界函数的反常积分

设 ff 在 (a,b](a,b] 上连续，在 aa 的右侧邻域内无界，称 aa 为 ff 的瑕点。取 t∈(a,b)t\in(a,b)，若极限 lim⁡t→a+∫tbf(x) dx\lim_{t\to a^+}\int_t^bf(x)\,\mathrm{d}x 存在，则称它为 ff 在 [a,b][a,b] 上的反常积分，也称瑕积分，记作

∫abf(x) dx=lim⁡t→a+∫tbf(x) dx.\int_a^bf(x)\,\mathrm{d}x=\lim_{t\to a^+}\int_t^bf(x)\,\mathrm{d}x.

类似地：

  • 瑕点在上限 bb：∫abf(x) dx=lim⁡t→b−∫atf(x) dx\displaystyle\int_a^bf(x)\,\mathrm{d}x=\lim_{t\to b^-}\int_a^tf(x)\,\mathrm{d}x。
  • 瑕点在内部 c∈(a,b)c\in(a,b)：∫abf(x) dx=∫acf(x) dx+∫cbf(x) dx\displaystyle\int_a^bf(x)\,\mathrm{d}x=\int_a^cf(x)\,\mathrm{d}x+\int_c^bf(x)\,\mathrm{d}x，两个积分都收敛时原积分才收敛。

来源：反常积分

教材先用极限定义无穷限的情形，再用同样的方式处理瑕积分；判断敛散前先写清是哪一个端点出了问题。

两类p-积分

两类p-积分

类型积分收敛发散收敛时的值
无穷限∫1+∞dxxp\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{\mathrm{d}x}{x^p}p>1p>1p≤1p\le 11p−1\dfrac{1}{p-1}
瑕积分（瑕点 x=0x=0，p>0p>0）∫01dxxp\displaystyle\int_0^1\frac{\mathrm{d}x}{x^p}0<p<10<p<1p≥1p\ge 111−p\dfrac{1}{1-p}
证明 两类p-积分的计算

先看无穷限。当 p≠1p\ne 1，

∫1Adxxp=A1−p−11−p.\int_1^A\frac{\mathrm{d}x}{x^p}=\frac{A^{1-p}-1}{1-p}.

p>1p>1 时 1−p<01-p<0，A1−p→0A^{1-p}\to 0，极限为 1p−1\frac{1}{p-1}；p<1p<1 时 A1−p→+∞A^{1-p}\to+\infty，积分发散。p=1p=1 时 ∫1Adxx=ln⁡A→+∞\int_1^A\frac{\mathrm{d}x}{x}=\ln A\to+\infty，同样发散。

再看瑕积分。当 p≠1p\ne 1，

∫ε1dxxp=1−ε1−p1−p.\int_\varepsilon^1\frac{\mathrm{d}x}{x^p}=\frac{1-\varepsilon^{1-p}}{1-p}.

0<p<10<p<1 时 1−p>01-p>0，ε1−p→0\varepsilon^{1-p}\to 0，极限为 11−p\frac{1}{1-p}；p>1p>1 时 1−p<01-p<0，ε1−p→+∞\varepsilon^{1-p}\to+\infty，积分发散。p=1p=1 时 ∫ε1dxx=−ln⁡ε→+∞\int_\varepsilon^1\frac{\mathrm{d}x}{x}=-\ln\varepsilon\to+\infty。

比较判别法

设在 [a,+∞)[a,+\infty) 上 0≤f(x)≤g(x)0\le f(x)\le g(x)，且两个函数都连续。

  • 若 ∫a+∞g(x) dx\int_a^{+\infty}g(x)\,\mathrm{d}x 收敛，则 ∫a+∞f(x) dx\int_a^{+\infty}f(x)\,\mathrm{d}x 收敛（大收则小收）。
  • 若 ∫a+∞f(x) dx\int_a^{+\infty}f(x)\,\mathrm{d}x 发散，则 ∫a+∞g(x) dx\int_a^{+\infty}g(x)\,\mathrm{d}x 发散（小发则大发）。

极限形式：设 f(x)≥0f(x)\ge 0，g(x)>0g(x)>0，且

lim⁡x→+∞f(x)g(x)=λ.\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=\lambda.
  • 若 0<λ<+∞0<\lambda<+\infty，则两个积分同敛散。
  • 若 λ=0\lambda=0，且 ∫a+∞g(x) dx\int_a^{+\infty}g(x)\,\mathrm{d}x 收敛，则 ∫a+∞f(x) dx\int_a^{+\infty}f(x)\,\mathrm{d}x 收敛。
  • 若 λ=+∞\lambda=+\infty，且 ∫a+∞g(x) dx\int_a^{+\infty}g(x)\,\mathrm{d}x 发散，则 ∫a+∞f(x) dx\int_a^{+\infty}f(x)\,\mathrm{d}x 发散。

常用比较对象是 g(x)=1xpg(x)=\frac{1}{x^p}；瑕点 x=ax=a 附近改用 g(x)=1(x−a)pg(x)=\frac{1}{(x-a)^p}，并把极限过程换成 x→a+x\to a^+，其余结论相同。判断时先估计 ff 在问题端点附近的主部，再挑 pp 使比较对象的敛散已知。

来源：反常积分

p-积分是后面比较判别法的比较对象，所以这两行要连同收敛范围一起记，不能只记积分值。

Γ\Gamma 函数

对 s>0s>0，定义

Γ(s)=∫0+∞xs−1e−x dx.\Gamma(s)=\int_0^{+\infty}x^{s-1}e^{-x}\,\mathrm{d}x.

它把阶乘推广到实数。

主要性质：

  1. 递推公式 Γ(s+1)=sΓ(s)\Gamma(s+1)=s\Gamma(s)；
  2. 阶乘关系 Γ(n+1)=n!\Gamma(n+1)=n!，nn 为非负整数；
  3. 特殊值 Γ(1)=1\Gamma(1)=1，Γ(12)=π\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}。
证明 递推公式

取 u=xsu=x^{s}，dv=e−x dx\mathrm{d}v=e^{-x}\,\mathrm{d}x，则 du=sxs−1 dx\mathrm{d}u=sx^{s-1}\,\mathrm{d}x，v=−e−xv=-e^{-x}。于是

Γ(s+1)=[−xse−x]0+∞+s∫0+∞xs−1e−x dx.\Gamma(s+1)=\Bigl[-x^se^{-x}\Bigr]_0^{+\infty} +s\int_0^{+\infty}x^{s-1}e^{-x}\,\mathrm{d}x.

x→+∞x\to+\infty 时 xse−x→0x^se^{-x}\to 0；x→0+x\to 0^+ 时，因为 s>0s>0，也有 xse−x→0x^se^{-x}\to 0。所以边界项为 00，即 Γ(s+1)=sΓ(s)\Gamma(s+1)=s\Gamma(s)。

来源：Γ\Gamma 函数

学习安排

教材先定义无穷限的反常积分，再用同样的极限方式处理无界函数的瑕积分，最后才讲审敛法与 Γ\Gamma 函数。这个顺序有原因：定义已经说明反常积分是一个极限，所以判断敛散的第一步永远是分清类型、写清极限过程；原函数求不出来时，才轮到比较判别法。

复习时按“分类 → 再选工具”的顺序走：先看是无穷限、瑕点还是两者都有，再看是否含 1xp\frac{1}{x^p} 或 1(x−a)p\frac{1}{(x-a)^p} 这类主部，能直接算的直接算，算不出的用比较法。Γ\Gamma 函数放在最后，因为它的收敛性正好用无穷限积分的结论说明。

课程约定

  • 本课程称无界点为“瑕点”，含瑕点的积分称为瑕积分；瑕点在区间内部时必须从瑕点处拆成两段。
  • 区间 (−∞,+∞)(-\infty,+\infty) 上的积分要先任取分点 cc 拆开，两个积分都收敛才称原积分收敛，不按对称极限合并。
  • 比较判别法只用于非负函数，比较对象取 1xp\frac{1}{x^p}（无穷限）或 1(x−a)p\frac{1}{(x-a)^p}（瑕点）。
  • Γ\Gamma 函数的被积式中，xx 的指数是 s−1s-1；代入 s=n+1s=n+1 后才得到 n!n!。

易错点

  • 把两类p-积分的收敛范围记反。无穷限是 p>1p>1 收敛，瑕积分是 p<1p<1 收敛，先确认类型再套结论。
  • 拆开后只验证其中一个积分收敛，就判定整个 (−∞,+∞)(-\infty,+\infty) 上的积分收敛。
  • 对 ∫−∞+∞x dx\int_{-\infty}^{+\infty}x\,\mathrm{d}x 用“奇函数在对称区间上积分为零”，忽略它本身发散。
  • 把比较判别法用于变号函数，或把“敛散”的结论当成积分值。