7.2可分离变量的微分方程

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可分离变量的形式

如果一个一阶微分方程可以写成

\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=f(x)g(y)

或者

M_1(x)N_1(y)\,\mathrm{d}x+M_2(x)N_2(y)\,\mathrm{d}y=0,

则称它为可分离变量的微分方程。前一种形式中，右端是只含 $x$ 的因子与只含 $y$ 的因子的乘积；后一种形式中，两个系数也各自分解为 $x$ 的因子与 $y$ 的因子之积。两种写法只差整理方式：在 $M_2(x)N_2(y)\ne 0$ 的区间上，第二种形式可以解成第一种，二者都能把含 $y$ 的项和含 $x$ 的项分到等号两边。

本页默认 $f$ 与 $g$ 在讨论的区间上连续，以保证积分存在；求解通常在 $g(y)\ne 0$ 的区间上进行。记号 $y'=\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ ，以及阶、通解与初值问题的含义，见微分方程的基本概念。

来源：可分离变量的微分方程

两种写法只差整理方式；本节先按 $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=f(x)g(y)$ 读，遇到已经是微分形式的题目再对照第二种。

求解步骤

写成导数形式

把 $y'$ 改写成 $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ ，并将方程整理成 $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=f(x)g(y)$ 。
分离变量

在 $g(y)\ne 0$ 的区间上，两边除以 $g(y)$ 、乘以 $\mathrm{d}x$ ：
$\frac{1}{g(y)}\,\mathrm{d}y=f(x)\,\mathrm{d}x.$
含 $y$ 的项与 $\mathrm{d}y$ 留在左边，含 $x$ 的项与 $\mathrm{d}x$ 移到右边。
两边积分
$\int\frac{1}{g(y)}\,\mathrm{d}y=\int f(x)\,\mathrm{d}x.$
只需在右边写一个任意常数。
整理通解

积分得 $G(y)=F(x)+C$ 。能解出 $y$ 时写显式通解，解不出时可保留隐式通解。
代入初值

若给定 $y\vert_{x=x_0}=y_0$ ，把 $x_0,y_0$ 代入通解求出 $C$ ，得到特解。

来源：可分离变量的微分方程

五步里最容易跳过的是最后一步：题目给了初始条件却没有代回去求 $C$ ，答案就还停在通解上。

学习安排

7.2紧接7.1的术语，是第7章第一个给出完整求解流程的小节。本节先给两种等价写法，再按“分离—积分—整理”三步走，最后用两个例题分别演示求通解和代初值。7.3的齐次方程换元后得到的仍是可分离变量方程，因此要熟练执行这三步。

两个例题的用途不同： $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\dfrac{x}{y}$ 练隐式通解和积分常数合并， $y'=2xy$ 练从通解代初值。做作业时先判断能不能分离，再动笔。

课程约定

课堂口诀是“各找各妈，两边积分”：含 $y$ 的项和 $\mathrm{d}y$ 归一边，含 $x$ 的项和 $\mathrm{d}x$ 归另一边。
遇到 $y'$ 先改写成 $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ ，再决定怎么分离。
积分常数只写一个 $C$ ；需要配合对数或指数整理时，可以改写成 $\ln\vert C\vert$ 、 $e^C$ ，但要说明新常数的取值范围。
答案允许保留隐式形式；只有题目要求“求 $y$ ”时才必须解出显函数。

易错点

分离时除以 $g(y)$ ，却漏掉 $g(y)=0$ 对应的常数解。考试中要单独写一句检验。
两边积分各写一个常数，最后多出一个无法确定的常数；正确做法是合并成一个 $C$ 。
把 $\int\dfrac{1}{g(y)}\,\mathrm{d}y$ 写成对 $x$ 积分，或把 $\mathrm{d}y$ 、 $\mathrm{d}x$ 放错边。
用初值求 $C$ 时，把 $x_0,y_0$ 代进分离前的原方程而不是通解，得到恒等式，算不出 $C$ 。