课程笔记

3.3泰勒公式

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设函数 $f$ 在点 $x_0$ 的某个邻域内具有直到 $n$ 阶的导数。以 $x_0$ 为展开点，称

P_n(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n

为 $f$ 在 $x_0$ 处的 $n$ 次泰勒多项式，并把

f(x)=P_n(x)+R_n(x)

称为 $f$ 在 $x_0$ 处的泰勒公式，其中 $R_n(x)$ 是余项，表示用多项式代替函数时产生的误差。

泰勒多项式在 $x_0$ 处与原函数有相同的函数值和直到 $n$ 阶的导数值，所以它在展开点附近贴近原函数；离 $x_0$ 越远，误差通常越大。

佩亚诺余项：

R_n(x)=o\bigl((x-x_0)^n\bigr)\qquad(x\to x_0).

这里 $o$ 表示高阶无穷小，即 $\lim_{x\to x_0}\dfrac{R_n(x)}{(x-x_0)^n}=0$ 。它只说明误差是比 $(x-x_0)^n$ 高阶的无穷小，适合讨论 $x\to x_0$ 时的极限与无穷小阶。

拉格朗日余项：若 $f$ 在 $x_0$ 与 $x$ 之间还有 $n+1$ 阶导数，则对介于 $x_0$ 与 $x$ 之间的某个 $\xi$ ，

R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}.

它给出了误差的表达式，适合估计近似计算的上界。

取展开点 $x_0=0$ ，泰勒公式成为麦克劳林公式：

f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n+R_n(x).

教材把这一节排在中值定理之后；“重点”一段把两种余项与三类应用对应起来，读展开式前先看会用哪一种余项。

以下展开式都在 $x\to0$ 时成立，余项写成佩亚诺形式。

函数	麦克劳林展开式
$e^x$	$1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!}+\cdots+\dfrac{x^n}{n!}+o(x^n)$
$\sin x$	$x-\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}-\cdots+(-1)^{k-1}\dfrac{x^{2k-1}}{(2k-1)!}+o(x^{2k})$
$\cos x$	$1-\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}-\cdots+(-1)^{k}\dfrac{x^{2k}}{(2k)!}+o(x^{2k+1})$
$\ln(1+x)$	$x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^4}{4}+\cdots+(-1)^{n-1}\dfrac{x^n}{n}+o(x^n)$
$(1+x)^\alpha$	$1+\alpha x+\dfrac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+\cdots+\dfrac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}x^n+o(x^n)$
$\arctan x$	$x-\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^5}{5}-\dfrac{x^7}{7}+\cdots+(-1)^{k-1}\dfrac{x^{2k-1}}{2k-1}+o(x^{2k})$
$\arcsin x$	$x+\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{1\cdot3}{2\cdot4}\cdot\dfrac{x^5}{5}+\dfrac{1\cdot3\cdot5}{2\cdot4\cdot6}\cdot\dfrac{x^7}{7}+\cdots+o(x^{2k})$

$\arctan x$ 与 $\arcsin x$ 的展开不由逐阶求导直接得到，而是先展开导函数再逐项积分：

(\arctan x)'=\frac{1}{1+x^2}=1-x^2+x^4-x^6+\cdots,

右边是公比为 $-x^2$ 的几何级数；

(\arcsin x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}=(1-x^2)^{-1/2},

右边用 $\alpha=-\dfrac12$ 的广义二项式展开。逐项积分后分别得到上表中的两个展开式，积分常数由 $x=0$ 处函数值为 $0$ 确定。

$(1+x)^\alpha$ 的展开称为广义二项式展开， $\alpha$ 为任意实数。当 $\alpha$ 是正整数 $m$ 时， $k>m$ 的各项系数为零，展开式退化为普通的二项式定理。

这张表是本节的默写内容；“课程约定”对阶乘、 $\alpha$ 连乘和阶数选择的要求都针对它。

教材先给出 $x_0$ 处的泰勒公式与佩亚诺、拉格朗日两种余项，再取 $x_0=0$ 得到麦克劳林公式，最后集中列出七个常用展开式。阅读顺序与教材一致：先分清多项式部分与余项部分，再背展开式。余项决定公式能用来做什么——求极限只需佩亚诺余项，估计近似误差必须用拉格朗日余项。

七个展开式中， $e^x$ 、 $\sin x$ 、 $\cos x$ 、 $\ln(1+x)$ 、 $(1+x)^\alpha$ 的系数由逐阶求导得到； $\arctan x$ 与 $\arcsin x$ 的展开由导函数展开后逐项积分得到。泰勒公式与麦克劳林展开页面保留了完整推导和全部展开式。

拉格朗日余项用柯西中值定理证明；这里只需要记住两种余项各自的前提和用途。

常用展开式一律在 $x\to0$ 下使用，余项写佩亚诺形式 $o(x^n)$ ；需要换到 $x\to x_0$ 时先令 $t=x-x_0$ ，把展开点移到 $0$ 。
默写展开式时保留阶乘和 $\alpha$ 的连乘形式，不把 $n!$ 、 $(2k)!$ 展开成数值。
极限计算中按分母的最低次幂决定展开阶数；分子出现同阶项相消时再往下一阶展开，余项统一留在最后一项。
反三角函数的两个展开式通常记到三阶就够用，需要更高阶时由导数展开现推。

佩亚诺余项只说明误差是比 $(x-x_0)^n$ 高阶的无穷小，给不出具体上界，不能用来估计误差。
阶数不足是最常见的错误：和差型极限中各项展开到同一阶后仍可能相消，必须再展开一阶。
$\sin x$ 只有奇次项、 $\cos x$ 只有偶次项，符号交替，写完第二项后要检查符号。
广义二项式展开的系数分子从 $\alpha$ 开始逐个减一，共 $n$ 个因子，分母是 $n!$ ； $\alpha$ 为任意实数，不要求是正整数。
用拉格朗日余项估计误差时， $\xi$ 介于 $x_0$ 与 $x$ 之间，要把 $\bigl|f^{(n+1)}(\xi)\bigr|$ 在该区间上放大到最大值，不能只代入 $x_0$ 。

复习时先默写七个展开式，再各做一道“展开到指定阶”的题。判断展开到几阶的方法：分母是 $x^k$ 就展开到 $x^k$ ；分子中同阶项相消时，再往下一阶展开。