12.3幂级数

若级数的每一项都是定义在区间 $I$ 上的函数，

则称它为函数项级数。对 $I$ 上的每一点 $x_0$，代入后得到一个常数项级数 $\sum u_n(x_0)$，它可能收敛也可能发散。

若 $\sum u_n(x_0)$ 收敛，则称 $x_0$ 为函数项级数的收敛点，所有收敛点构成的集合称为收敛域。在收敛域上，级数的和是 $x$ 的函数

称为和函数，其中 $s_n(x)=\sum_{k=1}^{n}u_k(x)$ 是部分和函数。

函数项级数在每个收敛点上都化归为常数项级数，所以它的收敛域由逐点判断常数项级数得到；和函数则把这些点的和收集成一个函数。

形如

的函数项级数称为 $x$ 的幂级数，常数 $a_0,a_1,a_2,\dots$ 称为幂级数的系数。

更一般地，形如

的级数称为 $(x-x_0)$ 的幂级数。令 $t=x-x_0$，它就化为 $\sum a_nt^n$，所以讨论收敛性时可以只处理 $x_0=0$ 的情形，最后把区间平移回去。

设幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$。

1. 若它在 $x=x_0$（$x_0\ne0$）处收敛，则对满足 $|x|<|x_0|$ 的一切 $x$，该幂级数绝对收敛；
2. 若它在 $x=x_0$ 处发散，则对满足 $|x|>|x_0|$ 的一切 $x$，该幂级数发散。

推论：若幂级数 $\sum a_nx^n$ 不是只在 $x=0$ 处收敛，也不是在整个实数轴上收敛，则存在正数 $R$，使得

• 当 $|x|<R$ 时，幂级数绝对收敛；
• 当 $|x|>R$ 时，幂级数发散；
• 当 $x=R$ 与 $x=-R$ 时，幂级数可能收敛也可能发散，需要单独判定。

这个 $R$ 称为幂级数的收敛半径，开区间 $(-R,R)$ 称为收敛区间。把端点 $x=\pm R$ 的敛散性判定之后，收敛区间连同收敛的端点构成收敛域。

若幂级数只在 $x=0$ 处收敛，规定 $R=0$；若它对一切 $x$ 都收敛，规定 $R=+\infty$。

设幂级数 $\sum a_nx^n$ 的系数满足

则

1. 当 $0<\rho<+\infty$ 时，$R=\dfrac1\rho$；
2. 当 $\rho=0$ 时，$R=+\infty$；
3. 当 $\rho=+\infty$ 时，$R=0$。

设 $\sum a_nx^n$ 的收敛半径为 $R_1$，$\sum b_nx^n$ 的收敛半径为 $R_2$，令 $R=\min(R_1,R_2)$。在 $(-R,R)$ 内可以进行下列运算。

加法与减法：

乘法（柯西乘积）：

除法：当 $b_0\ne0$ 且 $|x|$ 足够小时，商可以写成幂级数 $\sum d_nx^n$，系数 $d_n$ 用待定系数法由递推关系确定。

幂级数在收敛区间内的三条分析性质，是它区别于一般函数项级数的关键。

连续性：和函数 $s(x)=\sum a_nx^n$ 在收敛区间 $(-R,R)$ 内连续。若幂级数在端点 $x=R$（或 $x=-R$）处也收敛，则和函数在该端点处单侧连续。

逐项积分：对任意 $x\in(-R,R)$，

逐项积分后所得幂级数的收敛半径仍为 $R$。

逐项求导：和函数在 $(-R,R)$ 内可导，且

逐项求导后所得幂级数的收敛半径仍为 $R$。

这三条性质给出了求幂级数和函数的常用路线：先逐项求导，把系数中的 $n$ 消去，化成可以套用等比级数公式的形式，求和后再逐项积分还原；有时反过来先积分再求导更方便。