11.3格林公式及其应用

这里的区域指连通的开集，闭区域指区域连同它的边界。

单连通区域：若区域 $D$ 内的任一闭曲线所围的部分都属于 $D$，则称 $D$ 为单连通区域。直观地说，单连通区域就是没有“洞”的区域。

复连通区域：若区域 $D$ 不是单连通区域，即 $D$ 内存在某些闭曲线，其所围的部分不全属于 $D$，则称 $D$ 为复连通区域，也称多连通区域。直观地说，复连通区域就是有“洞”的区域。

设 $L$ 是区域 $D$ 的边界。若沿 $L$ 行走时，区域 $D$ 始终位于左侧，则称这个方向为 $L$ 的正向；相反的方向称为负向。

对常见的单连通区域，正向边界就是逆时针方向。对复连通区域，边界由几条闭曲线组成：外边界取正向（逆时针），每个内边界取负向（顺时针），这样沿任一边界行走时 $D$ 都在左侧。

“正向”是对区域而言的，不是对曲线本身而言的。同一条圆周，围成的圆盘在左侧时是逆时针；若把它看作圆环的内边界，为了保持圆环在左侧，就要取顺时针。

设闭区域 $D$ 由分段光滑的曲线 $L$ 所围成，函数 $P(x,y)$、$Q(x,y)$ 在 $D$ 上具有一阶连续偏导数，则

其中 $L$ 是 $D$ 的正向边界曲线。

对复连通区域，格林公式仍然成立，但此时 $L$ 应理解为区域 $D$ 的全部边界，且外边界取正向（逆时针），内边界取负向（顺时针）。

使用格林公式前要检查两件事：$P$、$Q$ 在 $D$ 上（包括 $D$ 的内部）具有一阶连续偏导数；$L$ 取正向。若 $D$ 内有使 $P$ 或 $Q$ 无定义的奇点，不能直接套公式，要在挖去奇点后的区域上使用，并把新增的边界计入 $L$。

设 $G$ 是一个开区域，函数 $P(x,y)$、$Q(x,y)$ 在 $G$ 内具有一阶连续偏导数。若对于 $G$ 内任意两点 $A$、$B$，以及 $G$ 内从 $A$ 到 $B$ 的任意两条路径 $L_1$ 和 $L_2$，都有

则称曲线积分 $\displaystyle\int_L P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y$ 在 $G$ 内与路径无关。

反之，若存在两点 $A$、$B$ 及两条路径使得积分值不等，则称积分与路径有关，也称路径相关。

以下四个条件在单连通区域 $G$ 内相互等价：

1. 曲线积分 $\displaystyle\int_L P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y$ 在 $G$ 内与路径无关；
2. 对 $G$ 内的任意闭曲线 $C$，有 $\displaystyle\oint_C P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y=0$；
3. 在 $G$ 内恒有 $\displaystyle\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$；
4. $P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y$ 是 $G$ 内某个函数 $u(x,y)$ 的全微分，即 $\mathrm{d}u=P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y$。

设区域 $G$ 是一个单连通区域，函数 $P(x,y)$、$Q(x,y)$ 在 $G$ 内具有一阶连续偏导数，则以下两个条件等价：

1. 曲线积分 $\displaystyle\int_L P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y$ 在 $G$ 内与路径无关，或沿 $G$ 内任意闭曲线的积分为零；
2. 在 $G$ 内恒有

单连通区域这个条件不能省。复连通区域中即使处处满足 $\partial P/\partial y=\partial Q/\partial x$，曲线积分也不一定与路径无关：绕“洞”的闭曲线积分可能不为零，例子中的 $\dfrac{x\,\mathrm{d}y-y\,\mathrm{d}x}{x^2+y^2}$ 就是这种情况。

当积分与路径无关时，从定点 $A(x_0,y_0)$ 到动点 $B(x,y)$ 的曲线积分只与起点和终点有关，可记为

这个 $u(x,y)$ 就是 $P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y$ 的一个原函数，并且

于是 $\mathrm{d}u=P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y$，沿任意路径从 $A$ 到 $B$ 的积分都等于 $u(B)-u(A)$。